La convexidad de una curva de indiferencia resulta del hecho de que el valor absoluto de su derivada (negativa), que es la tasa marginal de sustitución, está disminuyendo. Pero, ¿por qué decimos que es convexa hacia el origen?
¿Qué es una función implícita que es convexa y cóncava hacia el origen?
Creo que lo que la gente quiere decir cuando dice "convexo al origen" (o a cualquier punto $p$) es que la función es convexa cuando se mira en una nueva base, es decir, la base resultante de una rotación de tal manera que el nuevo eje x (llamémoslo x') es, hasta una constante, tangente a la IC y la distancia $|p-IC|$ se minimiza en ese punto de tangencia ($w$).
La expresión intenta transmitir una noción visual de convexidad. Es "convexa hacia el origen" en el sentido de que si "nos paramos" en el origen, el punto $(0,0)$, y "miramos hacia" el gráfico, lo percibiremos como convexo.
En contraste, si nos paramos "encima" de dicho gráfico mirando hacia él, tomando nuestra posición como el origen, será cóncavo. Esta "relatividad" sospecho que proviene de la física y la arbitrariedad del origen del sistema de coordenadas allí.
Yo también he reflexionado sobre esta pregunta.
Encontré una definición interesante en el libro 'Existence and Optimality of Competitive Equilibria' de Charalambos D. Aliprantis, Donald J. Brown, Owen (ver página 9). La cito aquí:
"Matemáticamente, una curva 'convexa hacia el origen' se describe diciendo que si $A$ y $B$ son dos puntos en la curva, entonces un rayo que pasa por el origen $O$ y cualquier punto $X$ en el segmento de línea $AB$ se encontrará con la curva como máximo en un punto $D$ entre $O$ y $X$". EDIT - esto debería leerse como 'exactamente en un punto $D$ entre $0$ y $X$ en lugar de como máximo uno; parece que el autor cometió un error.
Bajo esta definición, una curva con forma de la mitad izquierda de una parábola en forma de U, pero que nunca alcanza un punto en el que su derivada sea 0, es el tipo de bonita curva de indiferencia convexa hacia el origen con la que soñamos como economistas. Si permitiéramos que la pendiente de la curva de indiferencia se volviera positiva después de algún punto, entonces sería posible trazar una línea desde el origen que cruza dos puntos de la curva, en cuyo caso la curva no sería convexa hacia el origen.
Cuando una función de utilidad es una función de dos variables x e y, una curva de indiferencia es convexa hacia el origen si las derivadas de las curvas de indiferencia son siempre negativas y las segundas derivadas son positivas. Es decir, las curvas de indiferencia tienen una pendiente descendente siempre pero la pendiente de la pendiente aumenta (de un valor negativo a un valor menos negativo) a medida que nos movemos hacia la derecha. Es decir, la tasa marginal de sustitución (el negativo de la pendiente de la curva de indiferencia o, de manera equivalente, la magnitud de la pendiente de la curva de indiferencia) disminuye a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de una curva de indiferencia.
Saludos,
Dutchman
Edit en respuesta al comentario de Giskard:
Giskard tiene razón, la definición tendría que ser corregida a 'exactamente uno'.
No entiendo. "un rayo que pase por el origen $O$ y cualquier punto $X$ en el segmento de línea $AB$ solo se encontrará con la curva en un punto $D$ entre $O$ y $X". Me parece que esto funciona incluso si la función de utilidad es estrictamente cóncava. Por ejemplo, $U(x,y) = x^2 + y^2$ tiene esta propiedad. Tal vez si la definición fuera "exactamente en uno" y no "a lo sumo en uno".
Nota: esta respuesta es más matemáticamente complicada que a nivel de pregrado, pero trataré de dar también intuición.
Creo que es más fácil pensar en este problema en términos de preferencias. Una relación de preferencia $\succsim$ sobre un conjunto de alternativas $X$ es convexa si $$x \succsim y \Rightarrow \lambda x + (1-\lambda) y \succsim y$$ para cada $\lambda \in (0,1]$.
Básicamente, lo que esto significa es que si me gusta x más que y, también me gusta cualquier paquete que sea una mezcla entre ellos mejor que y. Básicamente, si estoy en y, entonces me gustaría acercarme lo más posible a x con respecto a y.
Para visualizar esto, considera estar en algún valor en una curva de indiferencia arbitraria para preferencias convexas (por ejemplo, una función de utilidad Cobb-Douglas). Elige otro punto que esté en una curva de indiferencia estrictamente mayor. Entonces puedo dibujar una línea recta entre los dos paquetes, y todo en esa línea es mejor que donde empecé. Gráficamente, esto debería ser obvio, ya que todo entre los dos puntos también debería estar en una curva de indiferencia estrictamente mayor. Matemáticamente hablando, esto es lo mismo que decir que el conjunto de contorno superior para x, $\{y : y \succsim x\}$ es un conjunto convexo para cada x.
Me gusta el agua más que la fanta, pero la fanta mezclada con agua es un desastre y prefiero beber solo fanta. Pero entiendo tu punto.
"Entonces, en esencia, si estoy en y, entonces me gustaría acercarme lo más posible a x con respecto a y". Esto no es cierto. Tomando preferencias simétricas de Cobb-Douglass y $y = (0,1)$, $x = (1,0.01)$ preferiría mucho más quedarme en algún lugar cercano a $\lambda = 1/2$ que acercarme lo más posible a x.
En caso de cualquier función convexa, el valor de la media aritmética de cualquier par de puntos en la función no es menor que el valor del punto medio de la función en ese intervalo.
Mira esta función a continuación: 
Esta función es convexa hasta el punto $(0,0)$ y cóncava hasta el punto $(10,10)$.
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