Precio de la opción con límite superior en la dimensión de la volatilidad

Question

Todo,

Tengo una pregunta teórica sobre el valor de una opción cuando el precio al contado va al infinito en función de la volatilidad que va al infinito.

Sé que para un llame a opción:

• El valor de la opción es igual al pago descontado cuando la volatilidad es cero,

• El valor de la opción a volatilidad infinita es igual al spot. Se puede derivar este hecho evaluando lo que ocurre cuando $\sigma \to \infty$ en la EDP de Black-Scholes.

Supongamos ahora que añadimos una dimensión, además de la volatilidad, el precio al contado.

Mi pregunta es, dado un precio al contado "infinito", ¿cómo se acercará el valor de la opción al precio al contado al moverse "hacia arriba" en la dimensión de la volatilidad?

Por ejemplo, una llamada (UE) con una huelga (A) $100$ , mancha $100000$ , $\tau=1$ año, digamos $r=0$ %, y la volatilidad $200$ % tiene valor $V=99900.2846$ que es casi igual a la remuneración. cuando (B) vola $500$ %, $V=99981.6396 \approx$ punto. Y para (C) vola $1000$ %, $99999.9985$ que está aún más cerca del lugar exacto. Ahora digamos que quiero truncar mi dominio de spot (y volatilidad) y necesito una condición de contorno en el límite superior de este dominio de spot (truncado). ¿Hay alguna manera de saber cómo el valor de la opción en este límite (spot $\to \infty$ , vola $\in (0,\to\infty)$ ) se comporta?

Answer 1

Esto no responde directamente a tu pregunta, pero aquí tienes una sugerencia:

La mayoría de las opciones, a excepción de las opciones barrera, tienden a comportarse linealmente para los valores extremos de la(s) variable(s) de estado del modelo. Puede utilizar esto para programar una condición de contorno lineal muy genérica que en mi experiencia funciona bien para la mayoría de los precios, de nuevo con la excepción de las barreras, para las que se aplica Dirichlet.

Dejemos que $x$ sea una variable de estado en su modelo (en su caso El método de diferencias finitas en Matlab para el modelo de volatilidad SABR no proporciona valores correctos de las opciones el delantero $F$ o la volatilidad estocástica $\alpha$ ), entonces la linealidad en $x$ en la frontera $x_{\text{min}}$ o $x_{\text{max}}$ significa que la condición es $\frac{\partial^2V}{\partial x^2} = 0$ en la frontera. Si se introduce esto en la EDP de precios, se obtiene una EDP en la frontera que sólo tiene derivadas de primer orden en $x$ que luego se aproxima utilizando la diferencia finita no centrada $(V_{1,...} - V_{0,...})/\delta x$ o $(V_{i_{\text{max}},...} - V_{i_{\text{max}}-1,...} )/\delta x$ . Esto te da las ecuaciones adicionales que necesitas para rellenar la matriz que representa tu operador lineal discreto.

He utilizado esta condición genérica con éxito en mi aplicación de muchos modelos, incluyendo SABR, para la fijación de precios de todo tipo de productos.

También, como observación general, hay que recordar que un esquema de diferencias finitas es una aproximación a través de la discretización de un problema continuo. A efectos prácticos, generalmente no importa que el valor de la opción esté ligeramente desviado cerca de la frontera porque la probabilidad de llegar a ella es muy pequeña (de nuevo, con la excepción de las barreras).