Actualmente, estoy tratando de implementar una Diferencia Finita (FD) en el método de Matlab para mi tesis (Finanzas Cuantitativas). He implementado el FD método de Black-Scholes y ya tengo resultados correctos. Sin embargo, quiero extender a trabajar para el SABR la volatilidad del modelo. Aunque algunos datos sobre este modelo se puede encontrar en el internet, esto principalmente se refiere Hagan la fórmula aproximada para la UE de las opciones. Estoy particularmente interesado en la solución numérica (FD).
He tomado los siguientes pasos:
Sustituir los derivados en el SABR PDE con sus aproximaciones de diferencias finitas. He utilizado el llamado método implícito (https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method#Implicit_method) para esto. Posibilidad para la variable de transformación a partir de $F$ a $x$ y $\alpha$ a $y$ se incorpora en el PDE de discretización, pero no aplica todavía (por lo tanto, $\dfrac{\partial x}{\partial F}=\dfrac{\partial y}{\parcial \alpha}=1$ y $\dfrac{\partial^2 x}{\partial F^2}=\dfrac{\partial^2 y}{\parcial \alpha^2}=0$ en las fórmulas a continuación). La sustitución de diferencia hacia adelante en el tiempo y central diferencias en las dimensiones de espacio y reescritura, me da el siguiente ecuación: $$ V_{i,j,k} = V_{i-1,j-1,k+1}[-c] + V_{i,j-1,k+1}[-d+e+g] + V_{i+1,j-1,k+1}[c] + V_{i-1,j,k+1}[-a+b+f] + V_{i,j,k+1}[2a+2d+(1-h)] + V_{i+1,j,k+1}[-a-b-f] + V_{i-1,j+1,k+1}[c] + V_{i,j+1,k+1}[-d-e-g] + V_{i+1,j+1,k+1}[-c], (1) $$ donde
$a = 0.5\sigma_x^2\dfrac{1}{dx^2}(\dfrac{\partial x}{\partial F})^2d\tau$
$b = 0.5\sigma_x^2\dfrac{1}{2dx}\dfrac{\partial^2 x}{\partial F^2}d\tau$
$c = \rho\sigma_x\sigma_{y}\dfrac{\partial x}{\partial F}\dfrac{\partial y}{\parcial \alpha}\dfrac{1}{2dxdy}d\tau$
$d = 0.5\sigma_{y}^2\dfrac{1}{dy^2}(\dfrac{\partial y}{\parcial \alpha})^2d\tau$
$e = 0.5\sigma_y^2\dfrac{1}{2dy}\dfrac{\partial^2 y}{\parcial \alpha^2}d\tau$
$f = \mu_x\dfrac{\partial x}{\partial F}\dfrac{1}{2dx}d\tau$
$g = \mu_{y}\dfrac{\partial y}{\parcial \alpha}\dfrac{1}{2dy}d\tau$
$h = - rdt$
Escrito en notación matricial,
$V_{k+1} = A^{-1}( V_{k} - C_{k+1} )$
Tenga en cuenta que el vector $$ C contiene los valores que no pueden ser incorporados a través de la $Una$ de la matriz, ya que dependen de la frontera de los puntos de cuadrícula.
Edición 19 De Junio: Desde mi otro post se centra en el límite superior de $F$ dimensión, vamos a discutir límite superior en el vol dirección aquí, ya que @Yian_Pap proporcionado una respuesta por debajo con respecto a esto. Tenga en cuenta que he corregido la cruz de derivados, a ser: $\dfrac{\partial^2 V}{\partial F \partial \alpha}=\dfrac{V_{i+1,j+1} - V_{i+1,j-1} - V_{i-1,j+1} + V_{i-1,j-1}}{2\Delta F\Delta \alpha}$, no contiene $V_{i,j}$.
Ahora, como vol obligado I conjunto $\dfrac{\partial V}{\partial \alpha}=0$.
La sustitución de segundo orden precisa hacia atrás FD aproximación,
$\dfrac{1}{\Delta \alpha}(V_{i,M}-V_{i,M-1})=0$,
dado que el término en frente no es cero, se debe sostener que,
$V_{i,M}-V_{i,M-1}=0$,
por lo tanto,
$V_{i,M}=V_{i,M-1}$ (2),
Esto puede ser implementado en los coeficientes de la matriz $A$. Dado (1),
$V_{i,j,k} = z_1 V_{i-1,j-1,k+1} + z_2 V_{i,j-1,k+1} + z_3 V_{i+1,j-1,k+1}+ z_4V_{i-1,j,k+1} + z_5V_{i,j,k+1} + z_6V_{i+1,j,k+1}+ z_7V_{i-1,j+1,k+1} + z_8V_{i,j+1,k+1} + z_9V_{i+1,j+1,k+1}$,
Imponer la condición de (2) como sigue:
$V_{i,M,k} = z_1 V_{i-1,M-1,k+1} + z_2 V_{i,M-1,k+1} + z_3 V_{i+1,M-1,k+1}+ (z_4+z_7)V_{i-1,M,k+1} + (z_5+z_8)V_{i,M,k+1} + (z_6+z_9)V_{i+1,M,k+1}$,
Pregunta principal: ¿Soy la implementación de esta enlazado correctamente?
Lado de la pregunta: Cuando la configuración de $\nu=0$ y $\beta=1$, $z_7$, $z_8$ y $z_9$ son iguales a cero, ¿correcto? Así, en este caso, la condición de límite de vol no afectará FD resultados?
Mejor,
Pim
