La utilidad y la tiranía de una minoría

Question

Siga hasta esta pregunta .

Utilizando restricciones similares:

Las restricciones relativas al sistema que estoy modelando son (y para las que busco una solución general):

1. La utilidad marginal de cada unidad de un bien debe ser positiva (o nula), finita y decreciente (aunque nunca por debajo de cero).
2. Las cantidades disponibles de todos los bienes deben ser finitas, aunque pueden ser arbitrariamente grandes. 2.a Puede haber un número arbitrariamente grande, aunque finito, de otros bienes en el sistema.
3. La utilidad agregada debe aumentar para todos, mientras que la utilidad individual debe disminuir para todos excepto para uno (el "monstruo") cuando un bien de una determinada clase (digamos "coches") se transfiere de cualquier miembro del grupo al "monstruo".
4. La condición 3 debe cumplirse para todas las transferencias de "coches" de los "inocentes" (personas que no son el monstruo) al "monstruo", hasta el agotamiento de los "coches" del sistema.

La diferencia

Sustituyamos el "monstruo" por un grupo de individuos, todavía minoritarios.

¿Puede definirse una relación matemática entre su función de utilidad sobre un bien (x), y su representación en una población (p), que establezca límites inferiores para la existencia de una clase de "monstruos de la utilidad".

Por ejemplo, si los miembros del grupo "monstruo" a tienen la función $u(x)=Ax+\frac{b}{x^2}$ y los miembros del grupo inocente (es decir, del grupo no monstruoso) tienen una función de utilidad $v(x)=Cx+\frac{d}{x^2}$ ¿podemos describir la relación de $M:I$ (donde $M$ es el tamaño del grupo "monstruo" y $I$ es el tamaño del grupo "inocente") que permite $M$ existir como una clase de "monstruo utilitario" únicamente en términos de $A$ , $b$ , $C$ y $d$ ?

Se trata básicamente de una pregunta relativa a la construcción de economías no Pareto en la simulación.

Answer 1

Solución:

Si suponemos que la función de utilidad del grupo es igual:

$$G(x)= M\times u(qx) + I \times v(rx)$$

donde:

$$u(x) = Ax+\frac bx$$

$$v(x) = Cx+\frac dx$$

y:

$$q+r=1$$ $$q,r,A,b,C,D \in\mathbb{R}(0,\infty)$$ $$x,M,I\in\mathbb{Z} [1,\infty)$$

Podemos plantear nuestro objetivo como la definición de los límites de una situación en la que por alguna asignación injusta $M<I$ y $q>r$ , $G(x)$ es mayor de lo que sería si $r>q$ (un reparto más "justo").

Podemos incluso simplificar la cuestión para encontrar un conjunto de restricciones sobre las variables $M,I,q,r,A,b,C,$ y $d$ tal que satisfaga la desigualdad (que supone $q$ y $r$ son iguales y se eliminan):

$$M(Ax + \frac {b}{x}) > I(Cx+\frac{d}{x})$$

$$x\in \mathbb{Z}[1,\infty)$$

por lo que tomar la $\lim_{x\to\infty}$ de ambos lados, podemos ver que si $\frac{A}{C}>\frac{I}{M}$ en general $x$ la desigualdad se cumple.

Por el contrario, en $x=1$ obtenemos $M(A+b)$ y $I(C+d)$ .

Esto demostraría que existe una solución óptima no Pareto que sigue satisfaciendo la idea de la utilidad marginal decreciente y maximiza la utilidad global del grupo para todas las distribuciones de bienes para cualquier clase de bienes donde hay dos funciones de preferencia $u(x)$ y $v(x)$ siempre que se distribuyan de forma que[1]:

$$\infty>AM>CI+d>0$$

O, en general, una "clase monstruosa" puede existir siempre que los coeficientes de su función de utilidad sean mayores que los de una clase inocente multiplicados por su fracción de población y por el número total de bienes de la clase considerada en la economía:

$$\{c_M|c_M>c_I\times\frac{I}{M}\times x\}$$

[1] De nuevo, asumiendo que $MU \geq0$ siempre es cierto

Answer 2

Creo que tendríamos que suponer que la utilidad marginal del grupo de los monstruos es nula o inusualmente decreciente. Digamos que estamos hablando de riqueza, y que un pequeño grupo de personas tiene un deseo creciente de enriquecerse (es decir, siempre más), podría darse el caso de que el placer que les produce tener, digamos, 327 millones de dólares más fuera mayor que la pérdida acumulativa de 1 dólar por persona en los Estados Unidos. Pero creo que tenemos que suponer un gráfico de utilidad marginal de forma extraña para los monstruos, de lo contrario esto sólo podría ocurrir durante un corto tiempo, es decir, podría haber transferencias no parecidas que se ajustaran a este escenario, pero no podría continuar durante mucho tiempo.