¿La curva de demanda es la misma que la curva de beneficio marginal?

Question

La curva de demanda es la misma que la curva de beneficio marginal [Fuente: Microeconomía de Pindyck y Rubinfeld, capítulo 10, sección 5 - Monopsonio]. . Sólo he visto explicaciones intuitivas para esta afirmación. ¿Puede alguien demostrarlo matemáticamente?

Estoy confundido porque por ejemplo es la curva es P = 10 - Q, entonces para Q = 1 a Q = 2, el nivel de utilidad total cambia para AMBOS el primer producto consumido y el segundo, pero el término "beneficio marginal" parece captar sólo el cambio debido al segundo artículo consumido.

Answer 1

El matiz es importante:

En el comentarios en Respuesta de 1muflon1 el cita dada es

1. La curva de demanda representa el beneficio marginal. La distancia vertical en cada cantidad muestra el monto que los consumidores están dispuestos a pagar por esa unidad. La disposición a pagar refleja el beneficio derivado de cada unidad.

Así que la afirmación real no es que la curva de demanda sea la mismo como la curva de beneficio marginal, sino que representa de alguna manera. Para ser más precisos, la curva de demanda inversa representa el beneficio marginal. Las curvas de demanda y de demanda inversa se confunden a menudo, ya que estas correspondencias están representadas por el mismo gráfico.

Answer 2

No sé dónde has oído eso, pero en general es no es cierto que la curva de demanda es equivalente a la curva de utilidad marginal/beneficio.

Considere el contraejemplo trivial:

$$U = x^ay^b \text{ s. t. } px+qx=m$$

Dónde $U$ es la utilidad de consumir el bien $x$ y bueno $y$ , $p$ y $q$ son sus respectivos precios y $m$ es el presupuesto del consumidor.

Aquí claramente la utilidad marginal (beneficio) de consumir $x$ y $y$ está dada por:

$$U_x' = a x^{a-1} y^b \tag{1}$$

$$U_y'= b x^a y^{b-1} \tag{2}$$

Mientras que las demandas de $x$ y $y$ están dadas por:

$$ x^*=x(p,q,m) = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p} \tag{3} $$

$$ y^*=y(p,q,m) = \frac{b}{a+b}\frac{m}{q} \tag{4} $$

Está claro que 1 y 3 y 2 y 4 no son, en general, las mismas funciones. Esto no significa que no haya relación entre la utilidad marginal y la función de demanda. De hecho, las funciones 3 y 4 se derivan de un problema de optimización con restricciones que incorpora las funciones 1 y 2, pero sólo porque exista una relación entre la utilidad marginal y la demanda no se puede afirmar que sean equivalentes.

Es posible crear algunas funciones de utilidad especiales en las que la demanda y la utilidad marginal sean equivalentes, pero realmente hay que "falsear los números" para que sean iguales, y también habría que imponer algunas restricciones especiales a la función de utilidad marginal (que puede ser negativa mientras que la demanda normalmente no puede). Por tanto, como se ha demostrado anteriormente, la premisa de la pregunta es falsa, la curva de utilidad marginal/beneficio no suele ser igual a la curva de demanda.

Answer 3

Funciones cuasi-lineales

Hay un caso especial en el que la curva de demanda inversa es igual a la función de utilidad marginal. Se trata de un caso en el que la función de utilidad es casi lineal, es decir, tiene la forma $$ u(x,y) = v(x) + y. $$ En este caso, la condición de primer orden es igual a: $$ v'(x) = p_x. $$ Aquí $v'(x)$ es efectivamente la función de demanda inversa y también es igual a la curva de utilidad marginal.

El área bajo la curva de demanda inversa vendrá dada por: $$ \int_0^q v'(x) dx = v(q) - v(0). $$ Así que es igual al incremento de la utilidad por el aumento de $x$ de $0$ a $q$ mientras se mantiene $y$ arreglado.

En general (sin) cuasi-linealidad tenemos: $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \lambda p_x, $$ Ahora, $\lambda$ depende en general de los precios y de la renta, por lo que no es sencillo invertir esta función.

En otras palabras, la demanda inversa suele diferir de la función de utilidad marginal debido a los efectos de la renta. Si los efectos de la renta son constantes (por ejemplo $\lambda$ no cambia con los precios y la renta) entonces la función de demanda inversa será un simple reescalado de la función de utilidad marginal. $$ p_x = \frac{1}{\lambda} \frac{\partial u}{\partial x}. $$

Esto conecta con el hecho conocido de que el excedente del consumidor sólo será una medida exacta de la utilidad cuando no haya efectos sobre la renta, es decir, cuando la utilidad sea casi lineal.

Funciones de utilidad homotéticas

Existe otra interesante conexión aproximada entre la demanda inversa y la curva de utilidad marginal cuando las funciones de utilidad son homotéticas.

Multipliquemos todas las condiciones de primer orden por $x_i$ y luego sumar sobre $i$ para obtener: $$ \sum_i \frac{\partial u}{\partial x_i} x_i = \lambda \sum_i p_{x_i} x_i = \lambda m. $$ donde $m$ es el ingreso.

Por el teorema de Euler, el lado izquierdo es igual al nivel de utilidad $u(x_1, \ldots, x_n)$ Así que..: $$ \lambda = \frac{u}{m}. $$ Así, la demanda inversa adopta la forma: $$ p_i = \frac{1}{u} \frac{\partial u}{\partial x_i}. $$ Esto es lo que tiene el caso Cobb-Douglas:

El área bajo la curva de demanda inversa será entonces igual a: $$ \int_0^q \frac{1}{u} \frac{\partial u}{\partial x_i} dx_i = \ln(u(x_1, \ldots, x_{i-1}, q, x_{i+1},\ldots, x_n)) - \ln(u(x_1, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i+1},\ldots, x_n)). $$ Que mide la ganancia de utilidad (logarítmica) al aumentar el consumo del bien $i$ de $0$ a $q$ .