Fórmula de Hull-White en Wikipedia, ¿es correcta?

Question

La distribución para la tasa de interés corta en el modelo Hull-White en Wikipedia es:

Pero la misma ecuación en el libro de Damiano Interest Rate Models - Theory and Practice es:

P: No veo cómo las fórmulas para la expectativa están relacionadas. La fórmula del libro tiene la curva forward instantánea, que no aparece en Wikipedia.

Answer 1

Para el modelo Hull-White, donde \begin{align*} dr_t = (\theta(t)-a r_t)dt+ \sigma dW_t, \end{align*} bajo la medida de riesgo neutral, tenemos que, para $t\ge s \ge 0$, \begin{align*} r_t = e^{-a(t-s)} r_s + \int_s^t \theta(u)e^{-a(t-u)} du + \int_s^t \sigma e^{-a(t-u)} dW_u. \end{align*} Entonces, si $\theta$ es una constante, \begin{align*} r_t \mid r_s &\sim N\left(e^{-a(t-s)} r_s + \int_s^t \theta e^{-a(t-u)} du\Big), \, \frac{\sigma^2}{2a}\Big(1-e^{-2a(t-s)}\Big)\right) \\ &\sim N\left(e^{-a(t-s)} r_s + \frac{\theta}{a} \Big(1-e^{-a(t-s)}\Big), \, \frac{\sigma^2}{2a}\Big(1-e^{-2a(t-s)}\Big)\right).

Para el caso general (ver esta pregunta), el precio de un bono cero cupón está dado por \begin{align*} P(t, T) &= A(t, T) e^{-B(t, T)\, r_t}, donde \begin{align*} B(t, T) = \frac{1}{a}\Big(1-e^{-a(T-t)} \Big), y \begin{align*} A(t, T) &= \exp\left(- \int_t^T \theta(u) B(u, T) du -\frac{\sigma^2}{2a^2}\big(B(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma^2}{4a}B(t, T)^2\right). Dada la curva de precios de bonos inicial, se tiene que \begin{align*} \ln P(0, T) = \ln A(0, T) - B(0, T)\, r_0. Luego \begin{align*} f(0, T) &= -\frac{\partial \ln P(0, T)}{\partial T}\\ &= \int_0^T \theta(u) \frac{\partial B(u, T)}{\partial T} du + \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(\frac{\partial B(0, T)}{\partial T} -1\Big)+ \frac{\sigma^2}{2a}B(0, T) \frac{\partial B(0, T)}{\partial T}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ + \frac{\partial B(0, T)}{\partial T} r_0\\ &=\int_0^T \theta(u) e^{-a(T-u)} du+ \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T} -1\Big)+ \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T}-e^{-2a T} \Big) + e^{-a T} r_0\\ &=\int_0^T \theta(u) e^{-a(T-u)} du - \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T} -1\Big)^2 + e^{-a T} r_0. Es decir, \begin{align*} \int_0^T \theta(u) e^{-a(T-u)} du &= f(0, T) + \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T} -1\Big)^2-e^{-a T} r_0\\ &=\alpha(T)-e^{-a T} r_0, \tag{1} donde \begin{align*} \alpha(T) = f(0, T) + \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T} -1\Big)^2. Además, a partir de $(1)$, \begin{align*} \int_0^T \theta(u) e^{au} du= e^{aT}\alpha(T)-r_0. Entonces \begin{align*} \int_s^t \theta(u) e^{-a(t-u)} du &= e^{-a t} \int_s^t \theta(u) e^{a u} du\\ &= e^{-a t}\left(e^{at}\alpha(t)-e^{as} \alpha(s) \right)\\ &=\alpha(t) - e^{-a(t-s)}\alpha(s). Por lo tanto, \begin{align*} r_t \mid r_s &\sim N\left(e^{-a(t-s)} r_s + \int_s^t \theta(u) e^{-a(t-u)} du\Big), \, \frac{\sigma^2}{2a}\Big(1-e^{-2a(t-s)}\Big)\right) \\ &\sim N\left(e^{-a(t-s)} r_s + \alpha(t) - e^{-a(t-s)}\alpha(s), \, \frac{\sigma^2}{2a}\Big(1-e^{-2a(t-s)}\Big)\right).