¿Cómo se deriva la fórmula de la Variación Cuadrática del Movimiento Browniano?

Question

Este es un seguimiento de esta pregunta en quant SE:

La pregunta menciona que para una marcha Browniana: $X_t = X_0 + \int_0^t\mu ds + \int_0^t\sigma dW_t $ , la variación cuadrática se calcula como

$dX_t dX_t = \sigma^2 dW_t dW_t = \sigma^2 dt $

No puedo entender cómo se elimina el diferencial con el tiempo ($\mu ds $) de la ecuación. Cuando elevo al cuadrado la forma diferencial de la ecuación:

$(dX_t)^2 = (\mu dt + \sigma dW_t)^2 = \mu^2 dtdt + \sigma^2 dW_tdW_t + \mu \sigma dt dW_t$. Desde aquí, me resulta difícil reducirlo a la forma anterior.

Answer 1

En toda honestidad, la Variación Cuadrática para Procesos Estocásticos es un tema avanzado, y calcularlo rigurosamente desde primeros principios es una pregunta de probabilidad a nivel de posgrado.

Parte 1: Variación Cuadrática: "prueba" informal

Primero, ¿cómo se define la Variación Cuadrática? Para un proceso estocástico $X_t$, la variación cuadrática, denotada $$, se define como (hablando en términos generales, proporciono la definición rigurosa al final):

$$\=\lim_{n \to \infty} \left(\sum_{i=1}^{i=n}(X_i-X_{i-1})^2\right)$$

Entonces en palabras, la variación cuadrática expresa la suma de las diferencias al cuadrado, a medida que la tamaño de la malla se vuelve más y más fino. El límite es en el sentido de probabilidad (ver final de esta publicación).

Ahora, tenemos:

$$(X_i-X_{i-1})^2=X_i^2-2X_iX_{i-1}+X_{i-1}^2$$

Por lo general, $X_0:=0$, así que ignorando el término $X_0$, tenemos:

$dX_i^2=\mu^2di^2+\sigma^2dW_i^2+2\mu di \sigma dW_i$

Observe que a medida que $n \to \infty$, $di \to 0$, por lo que $di^2 \to 0$ aún más rápido. Así que al ignorar el término $di^2$ (y todos los demás términos $di$ de orden superior a 1), podemos enfocarnos en el término $dW_i^2$. Intentemos calcular su esperanza y varianza:

$$\mathbb{E}[dW_i^2]=\mathbb{E}[W(di)^2]=\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^2]=di\mathbb{E}[W(1)]=di$$

$$Var\left(dW_i^2\right)=\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^4]-\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^2]^2=di^2\mathbb{E}[W(1)^4]-di^2$$

A medida que $n \to \infty$, $di^2 \to 0$ más rápido que $di \to 0$, por lo que la varianza converge a cero. Eso es básicamente lo que se quiere decir cuando alguien escribe $dW_t^2=dt$

Observe que lo anterior no es matemáticamente riguroso, es solo una "exageración" para obtener una comprensión intuitiva. La prueba rigurosa está a continuación:

Variación Cuadrática: prueba "rigurosa"

Formalmente, la Variación Cuadrática para un proceso de Wiener $W_t$ se define como sigue:

$\forall \epsilon > 0$:

$$\left_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$

En palabras: la probabilidad de que la variación cuadrática converja a "$t$", tiende a $1$, a medida que el tamaño de la malla se vuelve infinitamente fino.

La prueba es bastante técnica, la mejor que conozco está en estas notas de conferencia: pero la prueba se extiende sobre 5 páginas (y demuestran la convergencia casi seguramente, que es una convergencia más sólida que "en probabilidad", por lo que implica convergencia "en probabilidad").