En toda honestidad, la Variación Cuadrática para Procesos Estocásticos es un tema avanzado, y calcularlo rigurosamente desde primeros principios es una pregunta de probabilidad de nivel de posgrado.
Parte 1: Variación Cuadrática: "demostración" informal
Primero, ¿cómo se define la Variación Cuadrática? Para un proceso estocástico $X_t$, la variación cuadrática, denotada como $$, se define como (hablando de manera informal, proporciono la definición rigurosa al final):
$$\=\lim_{n \to \infty} \left(\sum_{i=1}^{i=n}(X_i-X_{i-1})^2\right)$$
Entonces en palabras, la variación cuadrática expresa la suma de las diferencias cuadradas, a medida que la malla se hace más fina y fina. El límite es en el sentido de probabilidad (ver final de esta publicación).
Ahora, tenemos:
$$(X_i-X_{i-1})^2=X_i^2-2X_iX_{i-1}+X_{i-1}^2$$
Por lo general, $X_0:=0$, por lo que ignorando el término $X_0$, tenemos:
$dX_i^2=\mu^2di^2+\sigma^2dW_i^2+2\mu di \sigma dW_i$
Notar que a medida que $n \to \infty$, $di \to 0$, por lo que $di^2 \to 0$ aún más rápido. Entonces, ignorando el término $di^2$ (y todos los otros términos de $di$ de orden superior a 1), podemos enfocarnos en el término $dW_i^2$. Intentemos calcular su esperanza y varianza:
$$\mathbb{E}[dW_i^2]=\mathbb{E}[W(di)^2]=\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^2]=di\mathbb{E}[W(1)]=di$$
$$Var\left(dW_i^2\right)=\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^4]-\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^2]^2=di^2\mathbb{E}[W(1)^4]-di^2$$
A medida que $n \to \infty$, $di^2 \to 0$ más rápido que $di \to 0$, por lo que la Varianza converge a cero. Básicamente, esto es lo que se quiere decir cuando alguien escribe $dW_t^2=dt$
Notar que lo anterior no es matemáticamente riguroso, es solo una "vaguedad" para obtener una comprensión intuitiva. La demostración rigurosa está abajo:
Variación Cuadrática: demostración "rigurosa"
Formalmente, la Variación Cuadrática para un proceso de Wiener $W_t$ se define como sigue:
$\forall \epsilon > 0$:
$$\left_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$
En palabras: la probabilidad de que la variación cuadrática converja a "$t$", tiende a $1$, a medida que el tamaño de la malla se vuelve infinitamente fino.
La demostración es bastante técnica, la mejor que conozco está en estas notas de clase: pero la demostración se extiende por 5 páginas (y prueban la convergencia casualmente, que es una convergencia más fuerte que "en probabilidad", por lo que implica convergencia en probabilidad).
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La regla es que $(dt)^2$ y $(dt)(dW)$ pueden ser reemplazados por cero, mientras que $(dW)^2$ es reemplazado por $dt$.
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Chicos, entiendo la razón por la cual alguien consideraría que la forma en que se formuló la pregunta es "básica" y "no cumple con las pautas de Quant SE", pero por debajo de la superficie, la pregunta no es trivial. Por ejemplo, hago referencia a la prueba formal en mi respuesta a continuación, pero si alguien me pidiera replicarla, no podría hacerlo sin una preparación exhaustiva (y básicamente memorizándola). Por lo tanto, creo que esta es una pregunta no trivial que merece mantenerse abierta, ya que otros podrían encontrarla útil. Personalmente encontré útil intentar responderla rigurosamente para refrescar el conocimiento del tema.
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@JanStuller Creo que el argumento no es que sea elemental, sino que es básico en el sentido de que se puede encontrar en cada libro sobre movimiento browniano o cálculo estocástico. No estoy seguro por qué replicarías estos cálculos aquí.
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@LazyCat: tienes un punto válido, pero sólo hasta cierto punto: por ejemplo, me tomó mucho tiempo encontrar una prueba rigurosa (que enlazo a continuación): la mayoría de los libros de texto sólo rascan la superficie y "sacan de la manga" el argumento, usando la habitual "regla" de $dW_t^2=dt". Realmente no he encontrado ningún libro de texto que pruebe la variación cuadrática de la marcha Browniana como un límite casi seguro o en probabilidad.