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¿Cómo se deriva la fórmula de la Variación Cuadrática de una Movimiento Browniano?

Este es un seguimiento de esta pregunta en quant SE:

La pregunta menciona para un movimiento Browniano: $X_t = X_0 + \int_0^t\mu ds + \int_0^t\sigma dW_t $ , la variación cuadrática se calcula como

$dX_t dX_t = \sigma^2 dW_t dW_t = \sigma^2 dt $

No puedo entender cómo se elimina la diferencial con el tiempo ($\mu ds $) de la ecuación. Cuando elevo al cuadrado la forma diferencial de la ecuación:

$(dX_t)^2 = (\mu dt + \sigma dW_t)^2 = \mu^2 dtdt + \sigma^2 dW_tdW_t + \mu \sigma dt dW_t$. A partir de aquí, me resulta difícil reducirlo a la forma anterior.

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La regla es que $(dt)^2$ y $(dt)(dW)$ pueden ser reemplazados por cero, mientras que $(dW)^2$ es reemplazado por $dt$.

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Chicos, entiendo la razón por la cual alguien consideraría que la forma en que se formuló la pregunta es "básica" y "no cumple con las pautas de Quant SE", pero por debajo de la superficie, la pregunta no es trivial. Por ejemplo, hago referencia a la prueba formal en mi respuesta a continuación, pero si alguien me pidiera replicarla, no podría hacerlo sin una preparación exhaustiva (y básicamente memorizándola). Por lo tanto, creo que esta es una pregunta no trivial que merece mantenerse abierta, ya que otros podrían encontrarla útil. Personalmente encontré útil intentar responderla rigurosamente para refrescar el conocimiento del tema.

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@JanStuller Creo que el argumento no es que sea elemental, sino que es básico en el sentido de que se puede encontrar en cada libro sobre movimiento browniano o cálculo estocástico. No estoy seguro por qué replicarías estos cálculos aquí.

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Amod Gokhale Puntos 26

En toda honestidad, la Variación Cuadrática para Procesos Estocásticos es un tema avanzado, y calcularlo rigurosamente desde primeros principios es una pregunta de probabilidad de nivel de posgrado.

Parte 1: Variación Cuadrática: "demostración" informal

Primero, ¿cómo se define la Variación Cuadrática? Para un proceso estocástico $X_t$, la variación cuadrática, denotada como $$, se define como (hablando de manera informal, proporciono la definición rigurosa al final):

$$\=\lim_{n \to \infty} \left(\sum_{i=1}^{i=n}(X_i-X_{i-1})^2\right)$$

Entonces en palabras, la variación cuadrática expresa la suma de las diferencias cuadradas, a medida que la malla se hace más fina y fina. El límite es en el sentido de probabilidad (ver final de esta publicación).

Ahora, tenemos:

$$(X_i-X_{i-1})^2=X_i^2-2X_iX_{i-1}+X_{i-1}^2$$

Por lo general, $X_0:=0$, por lo que ignorando el término $X_0$, tenemos:

$dX_i^2=\mu^2di^2+\sigma^2dW_i^2+2\mu di \sigma dW_i$

Notar que a medida que $n \to \infty$, $di \to 0$, por lo que $di^2 \to 0$ aún más rápido. Entonces, ignorando el término $di^2$ (y todos los otros términos de $di$ de orden superior a 1), podemos enfocarnos en el término $dW_i^2$. Intentemos calcular su esperanza y varianza:

$$\mathbb{E}[dW_i^2]=\mathbb{E}[W(di)^2]=\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^2]=di\mathbb{E}[W(1)]=di$$

$$Var\left(dW_i^2\right)=\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^4]-\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^2]^2=di^2\mathbb{E}[W(1)^4]-di^2$$

A medida que $n \to \infty$, $di^2 \to 0$ más rápido que $di \to 0$, por lo que la Varianza converge a cero. Básicamente, esto es lo que se quiere decir cuando alguien escribe $dW_t^2=dt$

Notar que lo anterior no es matemáticamente riguroso, es solo una "vaguedad" para obtener una comprensión intuitiva. La demostración rigurosa está abajo:

Variación Cuadrática: demostración "rigurosa"

Formalmente, la Variación Cuadrática para un proceso de Wiener $W_t$ se define como sigue:

$\forall \epsilon > 0$:

$$\left_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$

En palabras: la probabilidad de que la variación cuadrática converja a "$t$", tiende a $1$, a medida que el tamaño de la malla se vuelve infinitamente fino.

La demostración es bastante técnica, la mejor que conozco está en estas notas de clase: pero la demostración se extiende por 5 páginas (y prueban la convergencia casualmente, que es una convergencia más fuerte que "en probabilidad", por lo que implica convergencia en probabilidad).

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¡Gracias Jan! Esto lo hace mucho más claro ahora.

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¿Es realmente nivel de doctorado en América? Tuvimos esto en la licenciatura y maestría en Econometría en los cursos de matemáticas.

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@simsalabim: el enlace a la prueba en mi respuesta es a un curso 6.265 ("procesos estocásticos avanzados") en el MIT: en Estados Unidos, los títulos de maestría independientes en disciplinas clásicas, como matemáticas o probabilidad, realmente no existen: en su lugar, si las personas quieren hacer un curso de posgrado después de su licenciatura, hacen un doctorado, que generalmente dura 5 años, con los primeros dos años teniendo exámenes (los primeros 2 años son 60% examen, 40% "investigación", los últimos 3 años son 100% investigación). El curso 6.265 típicamente sería tomado por candidatos de doctorado de segundo año.

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