¿Puedo utilizar siempre la variación cuadrática para calcular la varianza?

Question

Supongamos que tenemos un movimiento browniano $BM(\mu,\sigma)$ definido como

$X_t=X_0 + \mu ds + \sigma dW_t$

La variación cuadrática de $X_t$ se puede calcular como

$dX_t dX_t = \sigma^2 dW_tdW_t = \sigma^2 dt$

donde se han eliminado todos los términos de orden inferior, por lo que la variación cuadrática (también la varianza de $X_t$ )

$[X_t,X_t]=\int_0^t \sigma^2 ds=\sigma^2 t$

Yo estaba tratando de usar la misma tecnología resolver el problema publicado en Integral del movimiento browniano con respecto al tiempo

Si empiezo como forma diferencial $dX_t = W_tdt$ y calcular $dX_t dX_t$ . Después de descartar todos los términos de orden inferior, tengo $dX_tdX_t=0$ . Esto significa que la variación cuadrática es cero. Por lo tanto tenemos que la varianza es cero?

Entiendo que esto no es correcto. Pero realmente quiero saber qué, me impide hacer este problema como el anterior?

Soy bastante nuevo en SDE y cualquier ayuda será apreciada. ¡Muchas gracias!

Answer 1

La variación cuadrática y la varianza son dos conceptos diferentes.

Dejemos que $X $ sea un proceso Ito y $t\geq 0$ .

Variación de $X_t$ es una cantidad determinista, mientras que la variación cuadrática en el tiempo $t $ que se denota por $[X,X]_t $ es una variable aleatoria.

Lo que te confunde es el hecho de que cuando $X $ es una martingala entonces $X^2_t-[X,X]_t$ es una martingala por lo tanto tienes

$$E (X_t^2)=E ([X,X]_t)+E (X^2_0) $$

En el caso de que $X_0=0$ ( y por lo tanto $E (X_t)=0$ porque $X $ es una martingala) Usted tiene $$Variance (X_t)=E ([X,X]_t) $$

En el caso general, no es cierto. Su ejemplo es el caso en el que $X $ no es una martingala y por lo tanto no es verdadera.

Por favor, comente para cualquier explicación adicional.