Propiedades de la relación de preferencia

Question

Dejemos que $\succeq$ sea una relación de preferencia sobre $X$ . ¿Es cierto que $x \succeq y$ si y sólo si $\lnot (y \succ x)$ ?

Creo que es cierto y mi prueba es la siguiente. Para demostrar $\implies$ dirección, tenemos $\lnot (y \succ x) \equiv \lnot(y \succeq x)$ o $x \succeq y$ . Así que claramente si asumimos $x \succeq y$ entonces $\lnot (y \succ x)$ es cierto. Para demostrar $\impliedby$ dirección, asume $\lnot (y \succ x)$ es cierto. Entonces $\lnot(y \succeq x)$ o $x \succeq y$ . Si $x \succeq y$ entonces hemos terminado. Si $\lnot(y \succeq x)$ Entonces, como $\succeq$ es una relación de preferencia debe ser completa, lo que implica que $x \succeq y$ .

¿Es correcta mi prueba? También, en general, sólo quiero preguntar, ¿es cierto que siempre que tenemos una preferencia relación $\succeq$ en lugar de probar todos estos hechos, ¿podemos pretender "informalmente" $\succeq$ es como la desigualdad $\ge$ ¿Y todo funciona de forma analógica? Por ejemplo, podríamos demostrar que $\lnot (x \sim y)$ si y sólo si $x \succ y$ o $y \succ x$ pero si sólo quisiéramos utilizar la deducción de este hecho sin demostrarlo, podemos verlo claramente en $\lnot(x=y)$ si y sólo si $x>y$ o $y>x$ .

Answer 1

Si definimos $\succeq$ en $X$ como primitiva, entonces la relación de preferencia estricta se deriva como $$ x\succ y ~\Leftrightarrow~ x\succeq y ~\text{ but not }~ y\succeq x.$$

Tenga en cuenta que puede ver esto como una definición de $\succ$ . Ahora demostramos $y\succeq x$ si no $x\succ y$ :

$(\Rightarrow)$ Si $y\succeq x$ por definición, $x\succ y$ no es cierto;

$(\Leftarrow)$ Si no es así $x\succ y$ entonces sólo hay tres posibilidades: (i) $ x\succeq y$ y $y\succeq x$ (ii) no $x\succeq y$ pero $y\succeq x$ ; y (iii) ni $x\succeq y$ ni $y\succeq x$ . El caso (iii) se puede descartar si asumimos la integridad de $\succeq$ . Por lo tanto, tanto en (i) como en (ii), tenemos $y\succeq x$ .

Cabe mencionar que Kreps (1990) introduce otro enfoque para definir las relaciones de preferencia en $X$ . Él toma $\succ$ como la primitiva y luego deriva la relación de preferencia débil como: $$x\succeq y ~\Leftrightarrow~ \text{not }~ y\succ x.$$

En este caso, no es necesario demostrar la equivalencia ya que se trata de una definición.