Estoy leyendo el siguiente corto de papel por Davis. En la sección 2.6 se quiere derivar una expresión para la cobertura de error. Supongamos que tenemos Black scholes de instalación:
$$ dS_t = S_t(r dt + \sigma dW_t)$$ $$ dB_t = B_t r dt$$
y dejar $C_h(S, r, \sigma, t) = C(t,S_t)$ es el precio de $t$ de una opción con el ejercicio valor de $h(S_T)$. Por venta en vez de $0$ la opción de recibir $C_h(S_0, r, \hat{\sigma},0) $, donde $\hat{\sigma}$ es la volatilidad implícita. Se supone que $\sigma = \hat{\sigma}$, el modelo volatiltiy es correcta.
Suponiendo que nuestro modelo no es correcto, en lugar de $S$ de la siguiente manera un SDE
$$dS_t = S_t(\alpha(t,\omega)dt + \beta(\omega t)dW_t)$$
donde los que participan en los procesos de satisfacer cierta regularidad condición. Nos delta hedge la venta de la opción, es decir, el valor de nuestra cartera de $X_t$ está dada por $X_0=C(0,S_0)$
$$ dX_t = \frac{\partial C}{\partial S}dS_t + (X_t -\frac{\partial C}{\partial S}S_t) r dt $$
que es selfinancing. Denota $Y_t \equiv C(t,S_t)$ y $Z_t = X_t - Y_t$, la cobertura de error que vamos a obtener
$$\frac{d}{dt}Z_t = rX_t - rS_t\frac{\partial C}{\partial S_t}-\frac{\partial C}{\partial t}-\frac{1}{2}\beta^2_t S^2_t \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$$
denota $\Gamma_t = \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$ y el uso de los Black Scholes PDE encontramos
$$ \frac{d}{dt}Z_t = rZ_t +\frac{1}{2}S_t^2\Gamma_t^2(\hat{\sigma}^2-\beta_t^2)$$
Creo que el cuadrado de la gamma es incorrecta, debe ser de $\Gamma_t$.
Mi pregunta ¿cómo se derivan las siguientes a la última expresión $(Z_0 = 0)$:
$$Z_T = X_T - h(S_T) = \int_0^T e^{i(T-s)}\frac{1}{2}S^2_t\Gamma^2_t(\hat{\sigma}^2-\beta^2_t)dt$$
Supongo que la $dt$ debe ser de $ds$ y todos los $t$ debe ser reemplazado con el $s$ en virtud de la integral. $Z_T = X_T-h(S_T)$ es claro, eso es verdad por definición. La última igualdad es que me molesta.
