" cómo encontrar la medida de riesgo neutral adecuada [...] ? "
Para abordar específicamente esta cuestión, vamos a trabajar en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ filtrado con $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ . Suponemos que el proceso de activos bajo la medida física $\mathbb{P}$ es: $$\text{d}S_t=\alpha(t,S_t)\text{d}t+\sigma\text{d}W_t$$
donde $\alpha(t,S_t)$ es un apropiado $^{*}$ proceso adaptado a la filtración $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ .
Sabemos que bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ el precio descontado del activo $X_t$ es una martingala. Aplicando el lema de Itô a $X_t=D_tS_t$ , donde $D_t =D(0,t)$ es el factor de descuento de $t$ a $0$ : $$\begin{align} \text{d}X_t &= -rD_tS_t\text{d}t+D_t\text{d}S_t \\[3pt] & = -rD_tS_t\text{d}t+D_t\alpha(t,S_t)\text{d}t+\sigma D_t\text{d}W_t \\[3pt] & = (\alpha(t,S_t)-rS_t)D_t\text{d}t+\sigma D_t\text{d}W_t \quad\quad\quad \text{Eq. 1} \end{align}$$
Por lo tanto, tenemos que cambiar la deriva de $S_t$ de $\alpha(t,S_t)$ a $rS_t$ . Ahora definamos el siguiente proceso: $$ \tilde{W}_t=W_t+\int_0^t\frac{\alpha(t,S_t)-rS_t}{\sigma}\text{d}t$$
El proceso $\tilde{W}_t$ es un movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ definido por el Exponencial de Doléans-Dade del proceso adaptado $f(t)=(\alpha(t,S_t)-rS_t)/\sigma$ . Entonces podemos hacer el cambio de medida $^{\text{*}}$ : $$\begin{align} \text{d}S_t & = \alpha(t,S_t)\text{d}t+\sigma\text{d}W_t \\[3pt] & = \alpha(t,S_t)\text{d}t+\sigma\left(\text{d}\tilde{W}_t-\frac{\alpha(t,S_t)-rS_t}{\sigma}\text{d}t\right) \\[3pt] & = rS_t\text{d}t+\sigma\text{d}\tilde{W}_t \end{align}$$
A partir de esta última ecuación se puede seguir de forma similar a la de Fórmula de valoración de las opciones de compra del modelo de Bachelier pero sustituyendo $r$ por $0$ lo que debería simplificar las cosas:
$$ S_t=S_0+\sigma\tilde{W}_t \ \sim \ \mathcal{N}(S_0,\sigma^2t)$$
[Editar: por qué $\text{Eq. 1}$ implica que la deriva del activo debe ser $rS_t\text{d}t$ bajo medida $\mathbb{Q}$ ? Sabemos por la teoría del riesgo neutro que el precio de un derivado es la expectativa de su resultado bajo la medida $\mathbb{Q}$ (véase, por ejemplo, la proposición 2.9 de $[1]$ ); por lo tanto, necesitamos la distribución del activo bajo la medida neutral de riesgo; también sabemos que el precio descontado del activo, $X_t=D_tS_t$ es una martingala bajo $\mathbb{Q}$ (véase, por ejemplo, la proposición 2.8 de $[1]$ ). Por otro lado, las martingalas (locales) pueden caracterizarse como un proceso sin deriva, es decir, para una martingala $M_t$ : $$M_t=\sigma(t,M_t)\text{d}W_t$$ para algún proceso adaptado $\sigma(t,M_t)$ que puede ser una constante $\sigma$ . Por lo tanto, dado $\text{Eq. 1}$ que da la SDE de $X_t$ , para que el activo descontado sea una martingala (local) necesitamos cancelar su deriva bajo $\mathbb{Q}$ haciendo que la deriva del activo $S_t$ sea igual a $rS_t\text{d}t$ bajo esa misma medida . En la práctica, siempre trabajamos con martingalas locales que también son martingalas, por lo que no nos molestamos en hacer todas las comprobaciones técnicas. Véase la nota técnica de mi respuesta a " ¿Por qué el precio del derivado con descuento es una martingala? " para más detalles. ]
$\text{*:}$ tendríamos que comprobar El estado de Novikov para asegurar que el cambio de medida es legítimo, asumimos el proceso $\alpha(t,S_t)$ es tal que la condición se cumple.
Referencias
$[1] $ Harrison, M. y Pliska, S. (1980). "Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading", Stochastic Process and their Applications 11, 215-260, North-Holland Publishing Company.
