Generalmente después de mostrar que con descuento precio de las acciones en proceso de martingala bajo el riesgo-neutral medida, la mayoría de los autores dicen que esto implica que el descuento derivado de los precios de proceso es una martingala así. Pero tengo dificultades para ver cómo lo anterior implica la segunda. Generalmente una función de una martingala no es una martingala. Alguien podría poner un poco más de luz sobre esto?
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Winter Traveler
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En virtud de un Black-Scholes marco, la dinámica de los precios de acciones de bajo riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$ son dadas por el ...
$$ S_t = r S_tdt +\sigma S_tdW^{\mathbb{Q}}_t $$
... y los de la libre de riesgo de los bonos por:
$$ \begin{align} dB_t = rB_tdt \end{align} $$
Vamos a definir la derivada de valor como $V(t,S_t)$, que sólo depende del tiempo $t$ y el precio de las acciones $S_t$. Para notacional claridad también vamos a escribir $V_t$.
Debido a que el valor de la derivada solo depende de que el tiempo y el precio de las acciones, podemos formar una cartera hecha de $w_S(t)$ acciones de acciones y $w_B(t)$ bonos que replica la derivada de la rentabilidad. Debido a que la cartera replica la rentabilidad, por no arbitraje, tanto la derivada y la cartera debe tener el mismo valor para todos los $t$ entre $0$ y el derivado de la madurez de $T$:
$$ V_t = w_S(t)S_t+w_B(t)B_t$$
Esta cartera debe ser auto-financiación, lo que significa que el impacto neto de los cambios en la asignación de $w(t)=(w_S(t),w_B(t))$ debe ser igual a $0$ $-$ es decir, no hay inyecciones de dinero en o retiros de dinero de la cartera:
$$ dV_t = w_S(t)dS_t+w_B(t)dB_t \quad (1)$$
Para asegurar la propiedad $(1)$ se verifica, un trivial de la estrategia es elegir:
$$ w_B(t) = \frac{V_t - w_S(t)S_t}{B_t} $$
De hecho, en cada paso de tiempo se reequilibrar su cartera mediante la compra (venta) $w_S(t+dt)-w_S(t)$ de acciones y la venta (compra) de los bonos en tal cantidad que hace que la derivada de valor y el valor de la cartera de partido.
Terminamos para la siguiente dinámica para la derivada del valor:
$$ dV_t = w_S(t)dS_t + r(V_t-w_S(t)S_t)dt \quad (2)$$
Ahora, considerar la dinámica de los descuentos de precio de las acciones. Por Ito lema:
$$ \begin{align} d\left(e^{-rt}S_t\derecho) & = -re^{rt}S_tdt + e^{-rt}dS_t \\[9 puntos] & = e^{-rt}\sigma S_tdW_t^{\mathbb{Q}} \end{align}$$
Por lo tanto, como se indica en su pregunta, el descuento del precio de las acciones es una martingala$^1$ en $\mathbb{Q}$. Ahora vamos a derivar la dinámica de los descuentos derivados de valor de proceso con Ito lema de nuevo:
$$ \begin{align} d\left(e^{-rt}V_t\derecho) = -re^{rt}V_tdt + e^{-rt}dV_t \quad (3) \end{align} $$
Ahora, la combinación de $(2)$ y $(3)$:
$$ \begin{align} d\left(e^{-rt}V_t\derecho) & = -re^{rt}V_tdt + w_S(t)e^{-rt}dS_t + r(V_t-w_S(t)S_t)e^{-rt}dt \\[9 puntos] & = w_S(t)e^{-rt}dS_t - w_S(t)e^{-rt}rS_tdt \\[9 puntos] & = w_S(t)e^{-rt}rS_tdt + w_S(t)e^{-rt}\sigma S_tdW_t^{\mathbb{Q}} - w_S(t)e^{-rt}rS_tdt \\[9 puntos] & = w_S(t)e^{-rt}\sigma S_tdW_t^{\mathbb{Q}} \\[9 puntos] & = w_S(t) \, d\left(e^{-rt}S_t\derecho)\end{align} $$
La dinámica de los descuentos derivados valor se deriva menos $-$ es decir, sólo tenemos un plazo en $dW_t^{\mathbb{Q}}$ izquierdo $-$ por lo tanto el descuento derivado de precio es una martingala bajo el riesgo-neutral de la medida$^1$.
Punto de vista técnico $1$: un proceso de Ito $X_t$ con $0$ deriva es estrictamente hablando un local de martingala. Una técnica condición es necesaria para garantizar que el proceso también es una martingala: una de esas condiciones es que la expectativa de variación cuadrática de que el proceso debe ser finito. En general, el local martingales trabajamos en la ingeniería financiera verificar este tipo de condición, así que no se molesten en probar que el local de la martingala es también una martingala.
Aquí, en el caso de los descuentos de precio de las acciones:
$$ \mathbb{E}\left[[S,S]_t\derecho] = \mathbb{E}\left[\int_0^t\sigma^2e^{-2ru}S_u^2du\derecho] < \infty$$
Tenemos:
$$ \begin{align} \mathbb{E}\left[\int_0^t\sigma^2e^{-2ru}S_u^2du\derecho] & = \sigma^2S_0^2 \mathbb{E}\left[\int_0^te^{-2ru}e^{2\left((r-\frac{\sigma^2}{2})u + \sigma W_u\derecho)}du\derecho] \\[12pt] & = \sigma^2S_0^2 \int_0^te^{-\sigma^2u} \mathbb{E}\left[e^{2\sigma W_u}\derecho]du \\[12pt] & = \sigma^2S_0^2 \int_0^te^{-\sigma^2u} e^{2\sigma^2 u}du \\[12pt] & = \sigma^2S_0^2 \int_0^te^{\sigma^2u}du \\[12pt] & = S_0^2 \left(e^{\sigma^2}-1 \derecho) \end{align}$$
Que es finito para todo $t$. Para la derivada:
$$ \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(w_S(u)\sigma e^{-ru}S_u\derecho)^2du\derecho] < \infty$$
Las condiciones de más de $w_S(t)$ son necesarios para asegurar la expectativa es finito. En el caso de una opción call Europea, tendríamos:
$$ \begin{align} & w_S(t) = -\frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t) = -\mathcal{N}(d_1) < 1 \\[6pt] & \Rightarrow 0< w_S(t)^2 < 1 \end{align} $$
Así, la convocatoria Europea precio también es una martingala:
$$ \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(w_S(u)\sigma e^{-ru}S_u\derecho)^2du\derecho] < \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(\sigma e^{-ru}S_u\derecho)^2du\derecho] < \infty$$
Steven Dick
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151
Decretamos que $D_t$ ha en un determinado proceso, que hace que sea una martingala. En particular, nos vamos a $$ D_t = \mathbb{E} ( D_T \, | \, \mathcal{F}_t) $$ Esto es trivialmente una martingala por la torre de la ley. Ya que el descuento del precio de las acciones y bonos de descuento de precio son martingales, hemos hecho todo lo que una martingala y que asegura que no es el arbitraje en la medida martingala. Sin embargo, el mundo real de la medida es equivalente a ella, así que no hay ninguno allí.
Thomas G.
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Esto no tiene nada que ver con Black Scholes o cualquier otro modelo de la evolución. A pesar de que son ejemplos interesantes.
El hecho de que los precios en europa son derivados de martingales proviene del mercado de integridad, de una forma más general de la asunción en la valuación de activos.
El mercado de la integridad implica (por el segundo teorema de fijación de precios de bienes) que cualquier europeo derivado puede ser replicado/alcanzado. El valor de la estrategia de replicación es una martingala y el precio, que es igual al valor, por lo tanto es una martingala.
Cualquier función de una Martingala no es una martingala. El corazón de la pregunta puede ser visto en un discreto modelo fácilmente. Deje que $H$ ser la rentabilidad de un espacio europeo de derivados, $(\hat X_t)_{t\in\{0,..T\}}$ la estrategia de replicación, $\pi_t$ el vector de replicar la cartera, y $S_t$ el vector de todos los activos.
La siguiente igualdad se tiene: $$\hat X_t=\hat X_0+\sum_{\tau=1}^T\pi_t\Delta \hat S_t\\ $$ Donde $\Delta \hat S_t= \hat S_t-\hat S_{t-1}$
$\hat X_t$ es una martingala debido a que $\hat S_t$ es una martingala y $\pi_t$ es un previsible proceso.
