Teorema de Euler

Question

¿Puede alguien darme la conexión e intuición detrás de cada una de las siguientes ecuaciones de Euler?

La ecuación de Euler en la función de producción representa que el pago total de factores es igual al grado de homogeneidad multiplicado por la producción, dado que los factores se pagan de acuerdo con la productividad marginal. Consulte lo siguiente - http://www.applet-magic.com/euler.htm

Y la ecuación de Euler en el consumo, que busca encontrar la ruta óptima de consumo donde la utilidad marginal perdida debido a un consumo ligeramente menor hoy coincide con la ganancia de utilidad esperada de un consumo futuro más alto. Consulte lo siguiente - https://www.quora.com/What-is-the-Euler-condition

1. ¿Alguien puede explicar si hay alguna conexión entre las dos?

2. Y ¿cuál es el motivo (intuición) detrás de su uso?

Answer 1

Ambos se relacionan de una u otra manera con extensiones del mismo objeto matemático, es decir, la ecuación diferencial de Cauchy-Euler, que tiene la forma

$$a_{n} x^n f^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} f^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 f(x) = 0 \tag{1}$$

donde $f^{(n)}$ denota la $n$-ésima derivada de la función $f$. Su versión de 1er orden es

$$a_{1} x f^{(1)}(x) + a_0 f(x) = 0\tag{2}$$

A. "Teorema de Euler para funciones homogéneas".

Considere la ecuación de Cauchy-Euler de 1er orden, en una extensión multivariada:

$$a_1\mathbf x'\cdot \nabla f(\mathbf x) + a_0f(\mathbf x) = 0 \tag{3}$$

El teorema de Euler para funciones homogéneas dice básicamente que si una función multivariada es homogénea de grado $r$, entonces satisface la ecuación de Cauchy-Euler de 1er orden multivariada, con $a_1 = -1, a_0 =r$.

B. "Ecuación de Euler en consumo".
Considere una extensión univariada pero no lineal para la ecuación diferencial de Cauchy-Euler de 1er orden:

$$a_{1}g(x) f^{(1)}(x) + a_0 f(x) = 0 \tag{4}$$

Ahora, fije $x=t$ (es decir, igual a tiempo), y $f(x) = C(t)$ (digamos, consumo per cápita). Entonces $(4)$ se escribe

$$a_{1}g(t) \frac{dC(t)}{dt} + a_0 C(t) = 0$$

$$\implies \dot C = -\frac {a_0}{a_{1}g(t)}C(t) \tag{5}$$

Lo que nos damos cuenta es que la solución al problema de maximización de utilidad intertemporal está descrita por una ecuación de la forma de $(5)$, con valores y formas adecuados para $a_0, a_1, g(t)$. Por ejemplo, en el modelo de Ramsey, podríamos establecer $a_0=-1, a_1 = 1, g(t) = (r(t)-\rho)^{-1}$

El análogo discreto (es decir, para tiempo discreto) de la extensión no lineal de Cauchy-Euler es

$$a_{1}g(t) \Delta C_{t+1} + a_0 C_t = 0$$

$$\implies C_{t+1} = \left (1-\frac {a_0}{a_1 g(t)}\right) C_t$$

y nuevamente vemos que la solución al problema de utilidad intertemporal en tiempo discreto satisface una ecuación de Cauchy-Euler de 1er orden.

Por qué el prefijo "Cauchy" ha desaparecido en la literatura económica, no lo sé.