Ambos se relacionan de una u otra manera con extensiones del mismo objeto matemático, es decir, la ecuación diferencial de Cauchy-Euler, que tiene la forma
$$a_{n} x^n f^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} f^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 f(x) = 0 \tag{1}$$
donde $f^{(n)}$ denota la $n$-ésima derivada de la función $f$. Su versión de 1er orden es
$$a_{1} x f^{(1)}(x) + a_0 f(x) = 0\tag{2}$$
A. "Teorema de Euler para funciones homogéneas".
Considere la ecuación de Cauchy-Euler de 1er orden, en una extensión multivariada:
$$ a_1\mathbf x'\cdot \nabla f(\mathbf x) + a_0f(\mathbf x) = 0 \tag{3}$$
El teorema de Euler para funciones homogéneas dice básicamente que si una función multivariada es homogénea de grado $r$, entonces satisface la ecuación de Cauchy-Euler de 1er orden multivariada, con $a_1 = -1, a_0 =r$.
B. "Ecuación de Euler en consumo".
Considere una extensión univariada pero no lineal para la ecuación diferencial de Cauchy-Euler de 1er orden:
$$a_{1}g(x) f^{(1)}(x) + a_0 f(x) = 0 \tag{4}$$
Ahora, fije $x=t$ (es decir, igual a tiempo), y $f(x) = C(t)$ (digamos, consumo per cápita). Entonces $(4)$ se escribe
$$a_{1}g(t) \frac{dC(t)}{dt} + a_0 C(t) = 0 $$
$$\implies \dot C = -\frac {a_0}{a_{1}g(t)}C(t) \tag{5}$$
Lo que nos damos cuenta es que la solución al problema de maximización de utilidad intertemporal está descrita por una ecuación de la forma de $(5)$, con valores y formas adecuados para $a_0, a_1, g(t)$. Por ejemplo, en el modelo de Ramsey, podríamos establecer $a_0=-1, a_1 = 1, g(t) = (r(t)-\rho)^{-1}$
El análogo discreto (es decir, para tiempo discreto) de la extensión no lineal de Cauchy-Euler es
$$a_{1}g(t) \Delta C_{t+1} + a_0 C_t = 0 $$
$$\implies C_{t+1} = \left (1-\frac {a_0}{a_1 g(t)}\right) C_t$$
y nuevamente vemos que la solución al problema de utilidad intertemporal en tiempo discreto satisface una ecuación de Cauchy-Euler de 1er orden.
Por qué el prefijo "Cauchy" ha desaparecido en la literatura económica, no lo sé.
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Gracias por notarlo, he editado la pregunta. Y la pregunta '¿pueden ser utilizados juntos?' era irrelevante.