Demuestre que el precio de un tipo LIBOR pagado por adelantado es una combinación lineal de caplets

Question

Dejemos que $L(t, T_1, T_2)$ sea el tipo LIBOR a plazo en el momento $t$ para el período $T_1$ a $T_2$ .

Si un valor paga algún múltiplo de $L(T_1, T_1, T_2)$ en el momento $T_1$ ¿Cómo se puede demostrar que el precio de ésta es una combinación lineal de cápsulas con diferentes huelgas?

Answer 1

Supongamos que la retribución es $L(T1,T1,T2)=:X$ pagado en $T_1$ .

1. Esto equivale a pagar $X(1+X)$ en el momento $T_2$ .

Se puede hacer esto porque en el escenario de riesgo neutral, un determinado pago conocido en el momento $T_1$ se puede pagar más tarde en $T_2$ si el beneficiario fuera compensado exactamente con la tasa justa de crecimiento presente en $T1$ para el período comprendido entre $T_1$ y $T_2$ . Más formalmente, se puede llegar a esto por cambio de medida entre el ZCB en $T_1$ y $T_2$ .

El pago es ahora no lineal en $X$ maduración en $T_2$ , por lo que se puede replicar utilizando el Fórmula Carr Madan . Intuitivamente, esto es posible porque las cápsulas determinan completamente la distribución marginal de $X$ en $T_2$ que es suficiente para fijar el precio de cualquier pago final en $T_2$ .

Para el punto 1, lo fundamental es que el pago se conozca en $T_1$ . Lo que también es crítico es que su "tasa justa" (tasa de descuento) es el LIBOR, lo que ya no es cierto en el caso de las tasas, por lo que en ese caso la replicación estática fallará.