¿Cómo derivar la distribución de probabilidad implícita de las volatilidades B-S?

Question

El problema general que tengo es la visualización del implícito distribución de los rendimientos de un par de divisas.

Suelo utilizar QQplots para las rentabilidades históricas, por ejemplo frente a la distribución normal:

Ahora me gustaría ver el mismo QQplot, pero para los rendimientos implícitos dado un conjunto de volatilidades implícitas de BS, por ejemplo aquí están las superficies:

USDZAR  1month  3month  6month  12month 2year
10dPut  15.82   14.59   14.51   14.50   15.25
25dPut  16.36   15.33   15.27   15.17   15.66
ATMoney 17.78   17.01   16.94   16.85   17.36
25dCall 20.34   20.06   20.24   20.38   20.88
10dCall 22.53   22.65   23.39   24.23   24.84

EURPLN  1month  3month  6month  12month 2year
10dPut  9.10    9.06    9.10    9.43    9.53
25dPut  9.74    9.54    9.51    9.68    9.77
ATMoney 10.89   10.75   10.78   10.92   11.09
25dCall 12.83   12.92   13.22   13.55   13.68
10dCall 14.44   15.08   15.57   16.16   16.34

EURUSD  1month  3month  6month  12month 2year
10dPut  19.13   19.43   19.61   19.59   18.90
25dPut  16.82   16.71   16.67   16.49   15.90
AtMoney 14.77   14.52   14.44   14.22   13.87
25dCall 13.56   13.30   13.23   13.04   12.85
10dCall 12.85   12.85   12.90   12.89   12.78

¿Alguien sabe cómo puedo hacer esto? ¿Algún paquete de R o alguna pista sobre cómo empezar? No tiene que ser necesariamente un qqplot, podría ser simplemente un gráfico de la función de densidad; eso también me ayudaría. Gracias.

Answer 1

Se puede implicar directamente una distribución de probabilidad a partir de una inclinación de la volatilidad.

Obsérvese que, para cualquier distribución de probabilidad terminal $p(S)$ en el tenor $T$ tenemos la fórmula sin modelo para el precio de compra $C(K)$ en función de la huelga $K$

$$\begin{equation} C=e^{-rT} \int_0^\infty (S-K)^+ p(S) dS \end{equation}$$

Por lo tanto, podemos escribir

$$\begin{equation} e^{rT} \frac{\partial C}{\partial K}=\int_K^\infty (-1) \cdot p(S) dS \end{equation}$$ y por el teorema fundamental del cálculo $$\begin{equation} e^{rT} \frac{\partial^2 C}{\partial K^2} = p(K) \end{equation}$$

Por lo tanto, todo lo que necesitas, para encontrar el valor de $p(x)$ para cualquier $x$ es la segunda derivada de los precios de las opciones de compra al precio de ejercicio $x$ .

Por lo general, se utiliza un sesgo ajustado (como un ajuste polinómico) a los valores de volatilidad disponibles en el tenor dado. En tu caso, con sólo 5 puntos, yo recomendaría ajustar una parábola en el espacio log strike. Una vez que tenga un sesgo continuo $\sigma(K)$ entonces sólo tienes que encontrar

$$\begin{equation} {\left. \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\right|} BS_{\text{Call}}(S_0, x, \sigma(x), r, T, q) \end{equation}$$

evaluado en $x=K$ lo que puede hacerse con un montón de símbolos, o simplemente con una diferenciación finita. En tu caso, te recomiendo esto último.

Una vez que tengas los valores de la distribución de probabilidad, por supuesto, el proceso de generar los gráficos qq es algo que ya dominas.

Editar: Corrección de errores de signos, por @Robino

Answer 2

Brian B da la idea general. Pero el uso de un simple polinomio no será apropiado en general. El documento Colocación estocástica sin modelo para una volatilidad implícita sin arbitraje: Parte I presenta varias técnicas estándar de la industria para implicar la distribución de probabilidad neutral al riesgo, tales como: una parametrización de la volatilidad implícita (el IVS es típicamente más apropiado que un polinomio para evitar la densidad negativa y tener buenas alas), el método del núcleo gaussiano de Wystup, una mezcla de distribución lognormal, ...

Answer 3

Estas cosas no son exactamente mi área de experiencia, pero ya que ofreces la recompensa, voy a empezar las cosas y veremos si la comunidad puede hacernos avanzar.

Creo que la esencia de tu pregunta es, en realidad, encontrar la distribución implícita de los rendimientos dadas las volatilidades B-S. Una vez que se tiene una distribución implícita, compararla con una distribución normal en un gráfico Q-Q es una cuestión relativamente sencilla. Un gráfico Q-Q es una excelente herramienta de inspección visual para comparar una distribución empírica con una teórica, como has hecho arriba para algunos pares de divisas, aunque estoy menos seguro de que te resulte tan beneficioso trazar dos distribuciones teóricas en un gráfico Q-Q.

Entonces, ¿cómo encontramos la distribución implícita de los rendimientos a partir de un conjunto de volatilidades Black-Scholes? Tu pregunta sobre el diagrama Q-Q implica que estarías igual de contento con una distribución "empírica" que con una teórica, así que quizás tu mejor camino aquí sea un modelo de volatilidad local. Véase Derman y Kani (1994) para una excelente introducción sobre el ajuste de un modelo de árbol binomial a la sonrisa de la volatilidad. La estimación de la versión continua de este modelo, la ecuación de Dupire, se describe en Cálculo de volatilidades locales a partir de ecuaciones dúplex regularizadas por Hanke y Rosler . Aquí está algo de código MATLAB que pretende estimar la ecuación. Aunque la ecuación toma los precios de las llamadas como entradas y calcula vols implícitos, estoy seguro de que se puede modificar para tomar un conjunto de volatilidades implícitas.

Si prefiere adoptar un enfoque más teórico, entonces volatilidad estocástica modelos debe ser su elección, de los cuales el Heston es el modelo más popular. Estos modelos también se han adornado con saltos y demás, pero en eso no soy un experto. Una excelente (aunque muy técnica) introducción a todos estos conceptos es La superficie de la volatilidad de Gatheral .

Tal vez los que estén más familiarizados con R puedan también indicarle la dirección correcta en términos de paquetes que estimen estos modelos para usted dado un conjunto de puntos en la superficie de volatilidad.

Buena suerte. Parece que lo que preguntas es mucho más complejo de lo que podrías haber previsto, pero al menos ha sido bien explorado en la literatura.

Answer 4

Conceptualmente se trata de inferir información sobre regiones de las que no se tienen datos, un problema clásico de extrapolación.

Para ello con diferentes supuestos obtendrás diferentes respuestas. Por ejemplo, en el caso de los tipos, todos los modelos estándar asignan una probabilidad positiva a cada nivel alto, pero teniendo en cuenta las leyes sobre la usura se puede dudar de que los tipos puedan crecer sin límites.

Además del problema de que sólo tienes 5 puntos de datos, los enfoques no paramétricos (Dupire, Derman-Kani) a menudo carecen de algunas propiedades básicas (probabilidades positivas que suman uno...), así que la mejor práctica es elegir un modelo en el que confíes para la inferencia posterior y ajustarlo a los vols dados.