Carr-Madan Fórmula

Question

Realmente financieros de las Matemáticas. Actualmente estoy teniendo problemas con la Carr-Madan Fórmula.

$$f(S_T)=f(F_t) + f'(F_t) (S_T - F_t) + \int_0^{F_t} f"(K) (K-S_T)^+ \ d K + \int_{F_t}^{\infty} f"(K) (S_T-K)^+ \ d K$$

Estoy tratando de entender lo que se usa y me parece que no puede encontrar cualquiera de los buenos artículos para explicar lo que está pasando. Me preguntaba ¿podría alguien recomendarme alguna lecturas, dado que estoy bastante nuevo en esto.

Answer 1

Para una suficientemente suave de la función $f$, constante positiva $a$ y $x>0$, Tenga en cuenta que, \begin{align*} f(x) -f(a) &= \int_a^{x} f'(v) dv \\ &= \int_a^{x} \big[f'(v) -f'(a) + f'(a) \big] dv \\ &= f'(a) (x-a) + \int_a^{x}\!\! \int_a^v f"(u)du dv\\ &= f'(a) (x-a) + \int_a^{x}\!\! \int_u^{x} f"(u)dv du\\ &= f'(a) (x-a) + \int_a^{x}f"(u)(x-u)du. \end{align*} A continuación, \begin{align*} f(x) &= f(a) + f'(a) (x-a) + \int_a^{x}(x-u)f"(u)du \\ &= f(a) + f'(a) (x-a) + \int_a^{x}\big(\pmb{1}_{a \leq x} + \pmb{1}_{a > x} \big)(x-u)f"(u)du \\ &= f(a) + f'(a) (x-a) + \int_a^{x} \pmb{1}_{a \leq x}\,(x-u)f"(u)du + \int_x^{a} \pmb{1}_{a > x}\,(u-x)f"(u)du \\ &= f(a) + f'(a) (x-a) + \int_a^{x} \pmb{1}_{a \leq x}\,(x-u)^+f"(u)du + \int_x^{a} \pmb{1}_{a > x}\,(u-x)^+f"(u)du \\ &= f(a) + f'(a) (x-a) + \int_a^{\infty} \pmb{1}_{a \leq x}\, (x-u)^+f"(u)du + \int_{0}^a \pmb{1}_{a \geq x}\, (u - x)^+f"(u)du \\ &=f(a) + f'(a) (x-a)\\ &\qquad + \int_a^{\infty}(1- \pmb{1}_{x < a})\, (x-u)^+f"(u)du + \int_{0}^a (1-\pmb{1}_{x>a})\, (u - x)^+f"(u)du \\ &= f(a) + f'(a) (x-a) + \int_a^{\infty}(x-u)^+f"(u)du + \int_{0}^(u - x)^+f"(u)du. \end{align*} Esta fórmula es utilizada en la valoración de un swap de varianza, y, como una aproximación, la constructuion de la VIX index; ver https://www.cboe.com/micro/vix/vixwhite.pdf.

Answer 2

El principal interés de la fórmula es que permite, al menos teóricamente, para replicar cualquier opción Europea con el pago de $f(\cdot)$ usando sólo opciones Call y Put. Como ejemplos sencillos, considere $f(S)=S$ y $f(S)=(S-K)^+$.

La fórmula también implica que sabiendo todo lo que Pone, y Pide que todas las huelgas para una determinada madurez te da el precio de cualquier opción Europea con el mismo vencimiento.

Answer 3

Si $f\colon\mathbf{R}\a\mathbf{R}$ tiene un seccionalmente continua en segundo derivatve, entonces \begin{align*} f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \int_{-\infty}^a (k - x)^+ f"(k)\,dk + \int_a^\infty (x - k)^+ f"(k)\,dk. \end{align*} Nota: esta fórmula tiene para $x = a$. Tomando un derivado con respecto a $x$rendimientos \begin{align*} f'(x) &= f'(a) + \int_{-\infty}^-1(x \le k) f"(k)\,dk + \int_a^\infty 1(x \ge k) f"(k)\,dk\\ &= f'(a) - \int_{\min\{x,\}}^f"(k)\,dk + \int_a^{\max\{x,\}} f"(k)\,dk\\ \end{align*} Nota: esta fórmula tiene para $x = a$. Tomando un derivado con respecto a $x$rendimientos \begin{align*} f"(x) = f"(x)1(x < a) + f"(x)1(x > a)(k) \end{align*} para $x\no= a$. Nota la izquierda y a la derecha de los límites como $x\a$ igual $f"(a)$. Esto demuestra que la fórmula original es válida.