Fijación de precios de Black y Scholes

Question

Quiero ponerle precio a B&S con $S_t$ precio de las acciones que tiene la rentabilidad, $h(S_T)=(S_T^3-S_T^2)^+$ . ¿Estaría mal si resolviera como $(S_T^3-S_T^2)^+\implies (S_T^3\geq S_T^2) \implies (S_T\geq 1) \implies (S_T-1)^+$ y utilizar la fórmula normal de B&S con $K=1$ ? Supongo que $S_t$ positivo desde el exponencial. Sin embargo, parece que obtengo una respuesta diferente si utilizo el método de descuento del precio de compra, es decir $c_t=e^{-rt}h(S_T)$ y el precio de la opción de venta mediante la paridad entre la opción de compra y la de venta. ¿Cuál es el correcto?

Answer 1

Hay al menos dos formas de valorar esto:

1. Utilizar Carr-Madan
2. Utilice $S^2$ como un numerario (de poder), en cuyo caso se puede fijar el precio de la recompensa $(S_T - 1)_+$ bajo la medida de potencia numérica.

EDITAR:

3. Simetría put-call.

Tal vez pueda obtener otro -1 por mi respuesta. El objetivo de responder a las preguntas aquí es hacer los deberes a otra persona o estimular el estudio y generar un debate?

EDIT2: Acabo de ver que esta pregunta ha sido rebatida por la comunidad, y me doy cuenta de que estaba de mal humor cuando escribí mi respuesta más arriba (disculpas). Por favor, tened paciencia, escribiré una respuesta más extensa en breve.

EDIT3: Detalles a las respuestas:

Dejemos que $$dS_t = \sigma S_t dW_t $$ La generalización al transporte determinista es sencilla.

Anuncio 1. Carr-Madan:

Por favor, vea aquí para la fórmula de Carr-Madan. Dado que $S_t$ es estrictamente positivo, podemos escribir $$ f(x) = (x^3-x^2)_+ = x^2 (x-1)_+ $$ Por lo tanto, tenemos que calcular $f'(x)$ y $f''(x)$ . Así que, $$ f'(x) = (3x^2 - 2x) \theta(x-1) $$ donde $\theta(\cdot)$ es la función Heaviside / escalonada. Y $$ f''(x) = (6x -2) \theta(x-1) + (3x^2 -2x)\delta(x-1) $$ con $\delta(\cdot)$ la función delta de Dirac. Si se introduce todo esto en la fórmula de Carr-Madan, se obtiene la cartera de réplica y, por lo tanto, el precio del siniestro. Sin embargo, hay algunas discontinuidades, por lo que es un poco complicado (es decir, en teoría funciona, en la práctica habrá desviaciones).

Anuncio 2. Potencia numérica:

Dejemos que $N_t = S_t^2$ que es un proceso estrictamente positivo. Utilizaremos $N_t$ como numerario. Su proceso es $$ dN_t = \sigma^2 N_t dt + 2\sigma N_t dW_t $$ Por lo tanto, el proceso $S_t / N_t = 1/S_t$ satisface $$ d(S_t/N_t) = d(1/S_t) = (\sigma^2 / S_t) dt - (\sigma / S_t) dW_t $$ Para encontrar un cambio de medida que haga $S_t/N_t$ una martingala es lo mismo que encontrar el cambio de medida que convierte $1/S_t$ en una martingala, que es $$ dW = \widetilde{dW} + \sigma dt $$ Con esta nueva medida, $$ dS = \sigma^2 S dt + \sigma S \widetilde{dW} $$ Por lo tanto, el precio de la demanda es $$ E_t(S_T^3 - S_T^2) = S_t^2 \widetilde{E_t} (S_T - 1)_+ $$ donde la expectativa del lado derecho está ahora bajo la medida de la potencia. Pero $\widetilde{E_t} (S_T - 1)_+$ es simplemente la fórmula de Black-Scholes con una deriva igual a $\sigma^2$ y huelga igual a $1$ .

Anuncio 3. Simetría put-call

No puedo recordar o entender ahora lo que quise decir :-D Como mi mal humor está altamente correlacionado con los pedos cerebrales (aunque no estoy seguro de cuál es la relación causal exacta), es muy probable que fuera un pedo cerebral. Sin embargo, para expiar un poco mis pecados aquí hay otro método:

3'. Método de tiempo local

Utilizando la fórmula de Ito-Tanaka, podemos escribir $$ E_t (S_T^3-S_T^2)_+ = (S_t^3-S_t^2)_+ + \frac{\sigma^2}{2} E_t \left( \int_t^T f''(S_u) S_u^2 du \right) $$ con $f''(S_u)$ como en $f''(x)$ arriba. No estoy seguro de que esto pueda simplificarse más; tengo que pensar más en ello.

En cualquier caso, el método de la potencia numérica (2) parece ser el más sencillo de los tres métodos.