Griegos: Estimación de la gamma por diferencia finita de Monte Carlo

Question

Cuando estaba usando Monte Carlo para calcular la gamma de una opción de compra vainilla por el método de diferencias finitas, me encontré con esta extraña situación como la siguiente.

Considera esto, $$ Gamma = \frac{CallPrice(S^{up}_{T}) - 2 * CallPrice(S_{T}) + CallPrice(S^{down}_{T})}{dS^2} $$ Y podemos elegir dS lo suficientemente pequeño como para que cuando $$ S_{T}>K \text{ then } S^{down}_{T}>K $$ y $$ S_{T}<K \text{ then } S^{up}_{T}<K $$

Es decir, podemos escribir la fórmula Gamma anterior como $$ Gamma = \frac{(S^{up}_{T}-K)I(S_{T}>K) - 2 * (S_{T}-K)*I(S_{T}>K) + (S^{down}_{T}-K)I(S_{T}>K)}{dS^2} $$ $$ = \frac{(S^{up}_{T} - 2 * S_{T} + S^{down}_{T})I(S_{T}>K)}{dS^2} $$ $$ = \frac{(S_{0}+dS)*exp(...) - 2*S_{0}*exp(...) + (S_{0}-dS)*exp(...)}{dS^2} = 0 $$

Así que cada vez que ejecuto la simulación, siempre obtengo un delta correcto pero una gamma errónea. (¿No es igual a cero tal vez por un error de redondeo?)

Sé que la gamma es distinta de cero, pero no encuentro dónde lo he hecho mal. ¿Alguna ayuda?

Nota: Esta pregunta es un poco similar a esta otra " Griegos: ¿Por qué mi Monte Carlo da un delta correcto pero un gamma incorrecto? ", pero ligeramente diferente.

Answer 1

La fórmula de diferencia finita Gamma es efectivamente:

$$\Gamma(S_0,T, dS; Z) = (dS)^{-2} \left[ (S_T^{up} (Z) - K)^+ -2 (S_T (Z) - K)^+ + (S_T^{dn} (Z) - K)^+ \right], $$

donde $Z$ es un rv normalizado, y

$$ S_T (Z) = S_0\eta (Z), $$

$$ S_T^{up} (Z) = (S_0+dS)\eta(Z) = (S_0+dS)S_0^{-1} S_T (Z) $$

$$ S_T^{dn} (Z) = (S_0-dS)\eta(Z) = (S_0-dS)S_0^{-1} S_T (Z), $$

y

$$ \eta(Z) = \exp \left( (r-0.5\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z \right). $$

Para las realizaciones de $Z$ , si $ S_T (Z) > K$ entonces $ S_T^{up} (Z) > K$ . También tenemos $ S_T^{dn} (Z) > K$ pero sólo si:

$$ dS < (S_T(Z) - K)\eta(Z)^{-1}.$$

Si $ S_T (Z) <K$ entonces $ S_T^{dn} (Z) <K$ . Y $ S_T^{up} (Z) <K$ , si

$$ dS < (K -S_T(Z) )\eta(Z)^{-1}. $$

Por lo tanto, para tales $Z$ realización y $dS$ Sí que tenemos:

$$ I(S_T(Z)-K) = I(S_T^{up}(Z)-K) = I(S_T^{up}(Z)-K). $$

Si $ S_T (Z) = K$ entonces $ S_T^{up} (Z) > K$ y $ S_T^{dn} (Z) < K$ no importa qué $dS>0$ elegimos. Así que, en este caso:

$$ I(S_T(Z)-K) = I(S_T^{dn}(Z)-K) =0 \not= 1 = I(S_T^{up}(Z)-K). $$

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El enlace que has proporcionado ofrece respuestas y recursos sobre cómo abordar los cálculos de Gamma en el marco de Monte Carlo.

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Tenga en cuenta que, con las anotaciones anteriores,

$$ \lim_{dS\rightarrow 0}\Gamma(S_0,T, dS; Z) = \delta (S_T(Z)-K) S_T(Z)S_0^{-1}, $$

donde $\delta$ es el Función delta de Dirac . Por lo tanto, calcular su expectativa a través de Monte Carlo está destinado a dar resultados sin sentido. La probabilidad de dar un resultado distinto de cero es cero, mientras que en la realidad lo sabemos:

$$ E[\delta (S_T(Z)-K) S_T(Z)S_0^{-1}] = KS_0^{-1}f(K), $$

donde $f$ es el pdf de $S_T(Z)$ .