Medida T-Forward

Question

Ref: https://en.wikipedia.org/wiki/Forward_measure

Estoy tratando de entender cómo pasar de la medida de riesgo neutral $Q$ a la medida T-Forward $Q_T$ .

Parece que podemos pasar de una medida a otra utilizando la "derivada de Radon-Nikodym $\frac{dQ_T}{dQ}$ es decir

$$P(t,T) = E_Q [ \frac{B(t)}{B(T)} ] = E_{Q_T} [\frac{B(t)}{B(T)} \frac{dQ_T}{dQ} ]$$

Lo que no entiendo es cómo deduces lo que $\frac{dQ_T}{dQ}$ es. Wikipedia dice que es lo siguiente, pero no estoy seguro de cómo.

$$\frac{dQ_T}{dQ} = \frac{B(t)P(T,T)}{B(T)P(t,T)} = 1$$

En este ejemplo, P(t,T) es el precio de un bono cupón cero en el momento t para el vencimiento T

Answer 1

Creo que su declaración tiene una errata. No encuentro la afirmación que has hecho en el artículo que citas.

La medida a plazo es la medida inducida por la utilización de un bono como numerario en lugar del activo libre de riesgo. Dejando que $H(X_T)$ sea la función de retribución de un activo $X_t$ ,

$$\tilde{\mathbb{E}}\left[\frac{B(t)H(X_T)}{B(T)}\right]=P(t, T)\tilde{\mathbb{E}}\left[\frac{B(t)}{B(T)P(t, T)} H(X_T) \right]$$ $$=P(t, T)\tilde{\mathbb{E}}\left[\frac{B(t)P(T, T)}{B(T)P(t, T)} H(X_T) \right]$$ $\frac{P(s, T)}{B(s)}$ es una martingala bajo la medida de riesgo neutral, por lo que se cumple lo siguiente:

$$\tilde{\mathbb{E}}\left[\frac{P(T, T)}{B(T)}\right]=\frac{P(t, T)}{B(t)}$$

Reordenando, queda claro que $\frac{B(t)P(T, T)}{B(T)P(t, T)}$ es una martingala con expectativa uno y, por tanto, puede ser matemáticamente una derivada de Radon-Nikodym. Por lo tanto, la fórmula de fijación de precios puede escribirse como sigue: $$g(X_t, t)=P(t, T)\hat{\mathbb{E}}\left[H(X_T) \right]$$

En la práctica, la dinámica de $X_T$ suelen postularse bajo la medida T-Forward sin el paso intermedio de riesgo neutral.