Numéraire -- no pudo entender la explicación de la wiki

Question

Estoy tratando de entender el concepto de Numéraire así que estoy leyendo el wiki página:

No pude entender la segunda ecuación de la última fórmula:

$$ E_{Q}\left[\left.\frac{M(0)}{M(T)}\frac{N(T)}{N(0)}\frac{S(T)}{N(T)}\right| \mathcal{F}(t)\right]/ E_Q\left[\left.\frac{M(0)}{M(T)}\frac{N(T)}{N(0)}\right| \mathcal{F}(t)\right] = \frac{M(t)}{N(t)}E_{Q}\left[\left.\frac{S(T)}{M(T)}\right| \mathcal{F}(t)\right] $$

¿Por qué? ¿Qué parte del lado izquierdo se mapea en $\frac{M(t)}{N(t)}$ y qué parte se asigna a $E_{Q}\left[\left.\frac{S(T)}{M(T)}\right| \mathcal{F}(t)\right] $ ?

Sólo como referencia, lo que sigue está copiado de la página wiki.

-- inicio de la wiki >>

En un mercado financiero con valores negociados, se puede utilizar un cambio de numéraire para fijar el precio de los activos. Por ejemplo, si $M(t)=exp(∫_0^t r(s)ds)$ es el precio en el momento $t$ de $\$ 1 $ that was invested in the money market at time $ 0 $, then all assets (say $ S(t) $), priced in terms of the money market, are martingales with respect to the risk-neutral measure, (say $ Q $). That is $$\frac {S(t)}{M(t)}=E_Q \left [ \left.\frac {S_T}{M_T} \right | F_t \right ], ∀t≤T$$

Ahora, supongamos que $N(t)>0$ es otro activo negociado estrictamente positivo (y, por tanto, una martingala cuando se valora en términos del mercado monetario). Entonces, podemos definir una nueva medida de probabilidad $Q^N$ por la derivada de Radon-Nikodym $$\frac{d Q^N}{dQ}=\frac{N_T/N_0}{M_T/M_0}$$

Entonces, utilizando la regla de Bayes abstracta se puede demostrar que $S(t)$ es una martingala bajo $Q^N$ cuando se valora en términos del nuevo numéraire, $N(t)$ :

$$ E_{Q^N}\left[\left.\frac{S(T)}{N(T)}\right| \mathcal{F}(t)\right] $$ $$= E_{Q}\left[\left.\frac{M(0)}{M(T)}\frac{N(T)}{N(0)}\frac{S(T)}{N(T)}\right| \mathcal{F}(t)\right]/ E_Q\left[\left.\frac{M(0)}{M(T)}\frac{N(T)}{N(0)}\right| \mathcal{F}(t)\right] $$ $$ = \frac{M(t)}{N(t)}E_{Q}\left[\left.\frac{S(T)}{M(T)}\right| \mathcal{F}(t)\right] = \frac{M(t)}{N(t)}\frac{S(t)}{M(t)} = \frac{S(t)}{N(t)} $$

<< fin de la wiki--

Answer 1

Si está interesado en la demostración de la regla de Baye para las expectativas condicionales, puede encontrar aquí

En aras de la exhaustividad:

La regla de Baye para las expectativas condicionales dice

$$ E^Q[X|\mathcal{F}]E^P[f|\mathcal{F}]=E^P[Xf|\mathcal{F}] $$

Con $f=dQ/dP$ - siendo así la derivada de Radon-Nikodyn y $X$ siendo una variable aleatoria y $\mathcal{F}$ siendo alguna sigma-algebrada.

Ahora tenemos que aplicar esa regla al contexto del cambio de numerario. A partir del Teorema del Cambio de Numerario sabemos que $dQ^N/dQ^M$ viene dada por $$ f=\frac{dQ^N}{dQ^M}=\frac{M(0)N(T)}{M(T)N(0)} $$

En el siguiente paso insertamos esto $f$ en el teorema anterior y también subtituir $X$ para $S(T)/N(T)$

$$ E^{Q^N}\left[\frac{S(T)}{N(T)}|\mathcal{F}_t\right]E^{Q^M}\left[\frac{M(0)N(T)}{M(T)N(0)}|\mathcal{F}_t\right]=E^{Q^M}\left[\frac{S(T)}{N(T)}\frac{M(0)N(T)}{M(T)N(0)}|\mathcal{F}_t\right] $$

$\frac{S(T)}{N(T)}\frac{M(0)N(T)}{M(T)N(0)}$ se simplifica a $\frac{S(T)}{M(T)}\frac{M(0)}{N(0)}$ .

Ahora quizás el paso crucial. $N(t)$ es un numerario y, por tanto, un activo negociable. $M(t)$ también es un numerario y $Q^M$ es su medida equivalente. Así, $N(t)/M(t)$ es una martingala bajo $Q^M$ . Esto lleva a

$$E^{Q^M}\left[\frac{M(0)N(T)}{M(T)N(0)}|\mathcal{F}_t\right]=\frac{M(0)N(t)}{M(t)N(0)}$$

Al dividir por esta fracción se obtiene

$$ E^{Q^N}\left[\frac{S(T)}{N(T)}|\mathcal{F}_t\right]=\frac{N(0)M(t)}{N(t)M(0)}E^{Q^M}\left[\frac{S(T)}{M(T)}\frac{M(0)}{N(0)}|\mathcal{F}_t\right]= \frac{N(0)M(t)}{N(t)M(0)}\frac{M(0)}{N(0)}E^{Q^M}\left[\frac{S(T)}{M(T)}|\mathcal{F}_t\right]$$

Esto lleva a

$$E^{Q^N}\left[\frac{S(T)}{N(T)}|\mathcal{F}_t\right]=\frac{M(t)}{N(t)}E^{Q^M}\left[\frac{S(T)}{M(T)}|\mathcal{F}_t\right]$$

Ahora sabemos que $S(t)/M(t)$ es una martingala bajo $Q^M$ . De este modo, se obtiene el resultado deseado.

$$E^{Q^N}\left[\frac{S(T)}{N(T)}|\mathcal{F}_t\right]=\frac{M(t)S(t)}{N(t)M(t)}$$