Opción aritmética asiática

Question

Supongamos que el bono sin riesgo Bt y la acción St siguen la dinámica del modelo de Black & Scholes

sin dividendos (con tipo de interés r, deriva de las acciones $μ$ y la volatilidad $σ$ ).

Dejemos que $A_T:=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}S_tdt$ . Definir $A^*_{T}:=S_{0}\frac{A_T}{S_T}$ Demuestre que bajo la medida ${Q}^S$ la variable aleatoria variable aleatoria $A^*_{T}$ tiene la misma ley $A_{T}^{(2)}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}S^{(2)}_tdt$ donde $dS_{t}^{(2)}=S_{t}^{(2)}(-rdt+\sigma dW_{t}^{(2)})$ donde $W_{t}^{(2)}$ es un proceso Wiener.

¿Cómo exactamente que tiene la misma ley? La única aproximación que se me ocurre es mediante el lema de Ito y demostrando que es una martingala? Pero no estoy del todo seguro.

Realmente aprecio la ayuda. Gracias.

Answer 1

Demostrando que $(A_t^*)$ es una martingala no ayuda realmente a entender la distribución de $A_T^*$ . En cambio, la clave es su pregunta anterior .

En $\mathbb{Q}\sim\mathbb{P}$ , usted tiene \begin {align*} S_t=S_0 \exp\left ( \left (r- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )t+ \sigma W_t \right ). \end {align*} En $\mathbb{Q}_S\sim\mathbb{Q}$ , usted tiene \begin {align*} S_t^{(2)}=S_0 \exp\left (- \left (r+ \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )t+ \sigma W_t^{(2)} \right ). \end {align*}

De su pregunta anterior Recuerde que si $(W_t)$ es un movimiento browniano estándar bajo $\mathbb{Q}$ entonces \begin {align*} \hat {W}_t=W_t- \sigma t \end {align*} es un movimiento browniano estándar bajo la medida del stock $\mathbb{Q}_S$ es decir $\hat{W}_t\overset{d}{=}W_t^{(2)}$ .

Considere ahora \begin {align*} A_T^* &= \frac {S_0}{S_T}A_T \\ &= \exp\left (- \left (r- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )T- \sigma W_T \right ) \frac {1}{T} \int_0 ^T S_0 \exp\left ( \left (r- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )t+ \sigma W_t \right ) \mathrm {d}t \\ &= \frac {1}{T} \int_0 ^T S_0 \exp\left ( \left (r- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )(t-T)- \sigma (W_T-W_t) \right ) \mathrm {d}t. \end {align*}

Siguiendo los pasos de la respuesta a su pregunta anterior se puede manipular el integrando para

\begin {align*} A_T^*&= \frac {1}{T} \int_0 ^T S_0 \exp\left (- \left (r+ \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )(T-t)+ \sigma \hat {W}_{T-t} \right ) \mathrm {d}t \\ &= - \frac {1}{T} \int_ {T}^{0} S_0 \exp\left (- \left (r+ \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )u+ \sigma \hat {W}_{u} \right ) \mathrm {d}u \\ &= \frac {1}{T} \int_ {0}^{T} S_0 \exp\left (- \left (r+ \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )u+ \sigma \hat {W}_{u} \right ) \mathrm {d}u. \end {align*}