Tienes que distinguir entre conceptos matemáticos y conceptos económicos.
El espacio vectorial, el espacio euclidiano, el espacio métrico, son conceptos matemáticos. El espacio de mercancías es un concepto económico.
Los espacios más básicos son los espacios vectoriales y los espacios métricos.
Un espacio vectorial en $R$ se define como un conjunto $V$ (de elementos de cualquier naturaleza) de manera que existan dos operaciones llamadas multiplicación escalar y adición, que satisfacen una lista de ciertas propiedades (demasiado largas para ser descritas aquí).
El espacio vectorial es el concepto fundamental del . El ejemplo más conocido de espacio vectorial es $R^n$.
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Un espacio métrico se define como un conjunto (de elementos de cualquier naturaleza) en el que está definida una función llamada distancia o métrica, que cumple ciertos axiomas específicos (demasiado largos para ser descritos aquí, pero puedes encontrarlos fácilmente en internet).
Es una generalización del concepto cotidiano de distancia.
Los espacios vectoriales y los espacios métricos son dos conceptos independientes: un espacio vectorial, por sí mismo, no es un espacio métrico y un espacio métrico, por sí mismo, no es un espacio vectorial.
Para convertir un espacio vectorial en un espacio métrico, tienes que definir en él una distancia.
Este es el caso de un espacio euclidiano, que es un espacio vectorial ($R^n$) en el que está definido un producto interno (o escalar). Es posible demostrar que un producto interno induce una distancia, de manera que un espacio euclidiano es un espacio vectorial métrico.
Un ejemplo de espacio métrico que no es un espacio vectorial es el llamado espacio discreto, que es un conjunto (de elementos de cualquier naturaleza) en el que se introduce una distancia llamada la distancia discreta.
Por otro lado, el espacio de mercancías es un concepto económico, que desde un punto de vista matemático puede verse como un espacio vectorial, en particular $R^n$ si el número de mercancías es $n$.
Escribiste:
"Un vector de mercancías (o conjunto de mercancías) es una lista de cantidades de las diferentes mercancías y puede verse como un punto en $R^l$, el espacio de mercancías. Podemos usar vectores de mercancías para representar los niveles de consumo de un individuo. La entrada l-ésima del vector de mercancías representa la cantidad de la mercancía l consumida”.
Es decir, los vectores en $R^n$ se interpretan como conjuntos de bienes, pero esta es una interpretación económica, y no un concepto matemático.
Otras propiedades se pueden introducir en el concepto de conjunto de mercancías, como una relación de orden total, entre otras, pero estas son diferentes de las propiedades de un espacio vectorial.
Ahora podemos responder a tu pregunta anterior:
“¿Por l dimensiones (de un espacio de mercancías) nos referimos a l direcciones? “
Vimos que, desde un punto de vista matemático, el espacio de mercancías es un espacio vectorial, en particular es $R^n$, por lo que tenemos que relacionarlo con la definición de dimensión de un espacio vectorial. Esta definición es un poco complicada porque implica el concepto de base de un espacio vectorial (demasiado largo para ser explicado aquí). En un espacio vectorial general, la dimensión del espacio se define como el número de vectores que constituyen una base.
En $R^n$ (n-uplas de números reales) se puede probar que la dimensión es el número de números reales que forman un vector, es decir, $n$. Por lo tanto, en un espacio de mercancías, la dimensión es el número de bienes que constituyen un conjunto de mercancías.
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