Espacios euclídeos, espacios vectoriales, espacios métricos, espacios de mercancías, espacios cartesianos

Question

¿Cuál es exactamente la diferencia entre el espacio euclidiano, el espacio vectorial, el espacio métrico, el espacio de mercancías, el espacio cartesiano?

Estoy leyendo sobre la elección del consumidor y encontré esta línea:

"Un vector de mercancías (o paquete de mercancías) es una lista de cantidades de diferentes mercancías y puede verse como un punto en Rl, el espacio de mercancías. Podemos usar vectores de mercancías para representar los niveles de consumo de un individuo. La entrada l del vector de mercancías representa la cantidad de la mercancía l consumida."

Cuando busqué el significado de espacio de mercancías, dice - el espacio de mercancías es el espacio euclidiano y aquí, como hemos tomado l entradas, es un espacio euclidiano de l dimensiones.

¿Con dimensiones l, nos referimos a direcciones l?

Porque cuando consideramos solo dos mercancías en un plano cartesiano simple, podemos mostrarlas como distancia perpendicular desde dos ejes (moviéndose en dos direcciones perpendiculares).

¿Un plano cartesiano de l dimensiones es similar a un plano euclidiano de l dimensiones?

Dado que estamos tomando paquetes de consumo como vectores de mercancías, el espacio de mercancías debería ser igual al espacio vectorial.

Ahora nos queda el espacio métrico, el motor de búsqueda de Google lo define como "un conjunto en el que las distancias entre todos los miembros del conjunto están definidas".

Leemos sobre varios conjuntos de consumo definidos como un subconjunto del espacio de mercancías Rl. Estos conjuntos de consumo pueden ser abiertos o cerrados.

Esto muestra que todos los espacios mencionados anteriormente están interconectados o son similares entre sí.

Answer 1

Intentaré hacer esto a un nivel intuitivo sin ser técnico. Si deseas definiciones rigurosas de cualquiera de esto, puedo editar mi publicación.

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Necesitamos una forma de modelar matemáticamente las decisiones de consumo que enfrenta un agente. Para lograr esto, usamos $\mathbb{R}^L_+$ para denotar el nivel de consumo del agente de cada uno de 1,2,..,L bienes.

Los vectores se relacionan con esto porque queremos pensar en cuánto de cada bien el agente elige cuando optimiza sus preferencias. Así que no solo pensamos en cuánto de bien $i$ quiere el agente. Queremos pensar en cuánto del bien 1 quiere el agente, del bien $2$ quiere, etc. simultáneamente. Entonces, hay un montón de "mezclas" diferentes de estos bienes que un agente puede pagar (que pertenecen al conjunto de presupuesto de este agente dado algunos precios y riqueza) y una de esas "mezclas" (vectores) representa cuánto de cada uno de los L bienes un agente elige consumir al maximizar su utilidad representativa.

Ahora - Espacio cartesiano. Deberías discutir realmente el sistema de coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano. Usamos coordenadas cartesianas para denotar un punto en el espacio euclidiano. Podríamos, por ejemplo, en lugar de eso, usar coordenadas polares para denotar puntos en el espacio euclidiano.

Un espacio métrico es un poco más complicado pero puedes pensarlo (esto es muy simplificado) como un espacio donde la distancia entre cualquier par de puntos está bien definida. Las distancias en sí se llaman métrica. Tener un espacio métrico nos permite usar métodos topológicos (por ejemplo, el concepto de bolas abiertas al discutir la no saciedad local de las preferencias). El ejemplo más común de un espacio métrico es el espacio euclidiano tridimensional.

Answer 2

De todos los tipos de estructuras o espacios que mencionas, el espacio vectorial $\mathcal{V}$ es el tipo de estructura más simple. Otras estructuras se construyen a partir de ésta:

1. Un espacio vectorial real con un producto interno (que permite definir la relación de ortogonalidad) es un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$.
2. Un espacio euclidiano es un espacio afín $\mathcal{A}$, un conjunto de puntos, de tal manera que para cada par de puntos $P$ y $Q$ existe un vector $\overrightarrow{PQ}$ de un espacio de Hilbert de dimensión finita. En un espacio euclidiano puedes definir distancias, ángulos, puntos, etc. por lo que tienes un espacio geométrico.
3. Un conjunto de puntos con una distancia es un espacio métrico, un espacio euclidiano es un espacio métrico, pero no todo espacio métrico es un espacio euclidiano.
4. Un espacio de mercancías es un conjunto de puntos, en el que puedes definir una relación de orden total, que es continua y tiene propiedades adicionales (algunos conjuntos convexos de los espacios euclidianos pueden convertirse en un espacio de mercancías, si defines alguna estructura adicional sobre ellos).
5. Un espacio cartesiano, es simplemente un conjunto que se puede expresar como un producto cartesiano de conjuntos. Nuevamente, el espacio euclidiano multidimensional y muchos espacios de mercancías son instancias particulares de espacios cartesianos.

Answer 3

Tienes que distinguir entre conceptos matemáticos y conceptos económicos.

Espacio vectorial, espacio euclidiano, espacio métrico, son conceptos matemáticos. El espacio de mercancías es un concepto económico.

Los espacios más básicos son espacios vectoriales y espacios métricos.

Un espacio vectorial en $R$ se define como un conjunto $V$ (de elementos de cualquier naturaleza) tal que existen dos operaciones llamadas multiplicación escalar y adición, que satisfacen una lista de ciertas propiedades (demasiado largas para ser descritas aquí).

El espacio vectorial es el concepto fundamental del álgebra lineal. El ejemplo más conocido de espacio vectorial es $R^n$.

Un espacio métrico se define como un conjunto (de elementos de cualquier naturaleza) en el que está definida una función llamada distancia o métrica, que satisface axiomas específicos (demasiado largos para ser descritos aquí, pero puedes encontrarlos fácilmente en internet).

Es una generalización del concepto cotidiano de distancia.

Los espacios vectoriales y los espacios métricos son dos conceptos independientes: un espacio vectorial, por sí solo, no es un espacio métrico y un espacio métrico, por sí solo, no es un espacio vectorial.

Para convertir un espacio vectorial en un espacio métrico, debes definir en él una distancia.

Este es el caso de un espacio euclidiano, que es un espacio vectorial ($R^n$) en el que se define un producto interno (o escalar). Es posible demostrar que un producto interno induce una distancia, por lo que un espacio euclidiano es un espacio vectorial métrico.

Un ejemplo de espacio métrico que no es un espacio vectorial es el llamado espacio discreto, que es un conjunto (de elementos de cualquier naturaleza) en el que se introduce una distancia llamada la distancia discreta.

El espacio de mercancías, en cambio, es un concepto económico, que desde un punto de vista matemático se puede ver como un espacio vectorial, en particular $R^n$ si el número de mercancías es $n$.

Tú escribiste:

"Un vector de mercancías (o conjunto de mercancías) es una lista de cantidades de las diferentes mercancías y puede ser visto como un punto en Rl, el espacio de mercancías. Podemos usar vectores de mercancías para representar los niveles de consumo de un individuo. La entrada l de un vector de mercancías representa la cantidad de la mercancía l consumida”.

Es decir, los vectores en $R^n$ son interpretados como conjuntos de bienes, pero esta es una interpretación económica, y no un concepto matemático.

Otras propiedades pueden ser introducidas en el concepto de conjunto de mercancías, como una relación de orden total, y otras, pero estas son diferentes de las propiedades de un espacio vectorial.

Ahora podemos responder a tu pregunta anterior:

“¿Por l dimensiones (de un espacio de mercancías) nos referimos a l direcciones? “

Vimos que, desde un punto de vista matemático, el espacio de mercancías es un espacio vectorial, en particular es $R^n$, así que tenemos que relacionarlo con la definición de la dimensión de un espacio vectorial. Esta definición es un poco complicada porque implica el concepto de base de un espacio vectorial (demasiado largo para ser explicado aquí). En un espacio vectorial general, la dimensión del espacio se define como el número de vectores que constituyen una base.

En $R^n$ (n-uplas de números reales) se puede demostrar que la dimensión es el número de números reales que forma un vector, es decir, $n$. Entonces, en un espacio de mercancías la dimensión es el número de bienes que constituyen un conjunto de mercancías.

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