Opciones asiáticas-Cambio de numerario

Question

Supongamos que el bono sin riesgo $B_t$ y las acciones $S_t$ seguir la dinámica del modelo Black & Scholes

sin dividendos (con tipo de interés r, deriva de las acciones $\mu$ y la volatilidad $\sigma$ ). Demostrar que $S_{u;T} := \frac{S_{u}}{S_T}$ en el marco de la medida $Q^S$ (con la acción como numerario) puede escribirse como $exp\{(-r-\frac{\sigma^2}{2})(T-u)+\sigma\hat{W}_{T-u}\}$ donde $\hat{W}_t$ para $t\in[0,T]$ tiene la misma ley de un proceso de Wiener bajo la $Q^S$ medida.

Estoy atascado en cómo resolver esta cuestión. Agradecería mucho la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $\mathbb{Q}$ sea la medida de probabilidad neutral al riesgo que utiliza la cuenta bancaria sin riesgo $(B_t)$ como numerario. En general, $\mathrm{d}B_t=r_tB_t\mathrm{d}t$ . En el marco de Black-Scholes, $r_t\equiv r$ tenemos $B_t=e^{rt}$ .

La medida de las existencias $\mathbb{Q}_S$ utiliza el precio compuesto de las acciones $S_te^{qt}$ como numerario y se define a través de la derivada de Radon Nikodym \begin{align*} \frac{\mathrm{d} \mathbb{Q}_S}{\mathrm{d}\mathbb{Q}}(t) &= \frac{B_0}{B_t}\frac{S_te^{qt}}{S_0} \\ &= \frac{1}{e^{rt}}\exp\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t\right)e^{qt} \\ &=\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^2t+\sigma W_t\right) \\ &= \mathcal{E}\left(\sigma W_t\right), \end{align*}

usando eso $\mathrm{d}S_t=(r-q)S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t$ . Recordemos que $(W_t)$ es un movimiento browniano estándar bajo $\mathbb{Q}$ . Utilizando Teorema de Girsanov sabemos que $\mathbb{Q}_S\sim\mathbb{Q}$ y que el proceso \begin{align*} \hat{W}_t &=W_t-\sigma t \end{align*} es un movimiento browniano estándar bajo $\mathbb{Q}_S$ .

Así pues, concluimos con \begin{align*} S_{u,T} &= \frac{S_u}{S_T} \\ &= \exp\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)u+\sigma W_u -\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\sigma W_T\right)\right) \\ &= \exp\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(u-T)-\sigma (W_T-W_u)\right) \\ &= \exp\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(u-T)-\sigma \left(\hat{W}_T +\sigma T -\left(\hat{W}_u+\sigma u\right)\right)\right) \\ &\overset{d}{=} \exp\left(-\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-u)-\sigma \big(\hat{W}_{T-u}+\sigma(T-u)\big)\right) \\ &= \exp\left(-\left(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-u)-\sigma \hat{W}_{T-u}\right) \\ &\overset{d}{=} \exp\left(-\left(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-u)+\sigma \hat{W}_{T-u}\right). \end{align*}