¿Cuáles son las unidades de la varianza de los rendimientos?

Question

Estoy un poco confundido sobre las unidades de la varianza de los rendimientos. Una forma de calcularlo sería mirar las unidades de los retornos-

$$r=\frac{1}{\Delta t}\ln\frac{P(t+\Delta t)}{P(t)}=\text{Dimension }(\text{time})^{-1}$$

$$\text{Cov}(r_i,r_j)=E[(r_i-\bar{r}_i)(r_j-\bar{r}_j)]=\text{Dimension }(\text{time})^{-2}$$

Pero lo anterior parece incorrecto. Para empezar, la varianza escala con el tiempo, es decir, la varianza anual es 12 veces la varianza mensual (suponiendo rendimientos iid). Además, el cálculo estocástico nos dice que $\sigma$ o escalas de desviación estándar con $(\text{time})^{-1/2}$ . ¿Cómo puedo conciliar esto con lo anterior?

Answer 1

No hay nada incorrecto en tus fórmulas, así que veamos las unidades cuando anualizas la volatilidad.

Como ejemplo, suponga que tiene 252 datos de rendimiento diario. Su dimensión es $(time)^{-1}$ y su varianza está dada en $(time)^{-2}$ (como ya ha dicho). Puede consultar la respuesta de Chris Taylor aquí en los supuestos subyacentes, por qué se puede anualizar la volatilidad como $$\sigma_{\rm annual} = \sigma_{\rm daily} \times \sqrt{252}.$$

De hecho, el factor de escala $\sqrt{252}$ se expresa sin unidad . Esto surge de la teorema del límite central :

Cuando se utiliza la rentabilidad logarítmica, la rentabilidad anualizada se calcula como $R_{year} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n$ con $n=252$ datos diarios de registro y retorno. Esta suma de datos de rentabilidad diaria converge hacia una distribución normal con parámetros $N\left( n \mu ,n\sigma_{daily} \right)$ , donde $\mu$ es la media de los rendimientos diarios. Esta escala con el factor $n$ está hecho sin ninguna unidad . Así que en ambos lados de la fórmula anterior tienes la unidad $(time)^{-1}$ para la desviación estándar de los rendimientos y la diaria escalada adimensionalmente por $\sqrt{252}$ .

En un sentido estadístico, el factor $n$ es sólo el número de puntos de datos que se observan, aunque representan puntos únicos en el tiempo en el contexto del cálculo financiero.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de @skoestlmeier de que el $\sqrt{252}$ debe considerarse adimensional. Sin embargo, utilizando el resultado de su análisis dimensional (es decir, que los rendimientos y la volatilidad tienen dimensión $time^{-1}$ ), se concluiría que la fórmula de Black Scholes (BS) es dimensionalmente inconsistente (ver esta pregunta ).

Me parece más útil pensar en los rendimientos como algo adimensional (es decir, ratios) y, por tanto, en la volatilidad, dada una frecuencia de medición . Una analogía ingenua sería, si tienes un coche que viaja a velocidad constante $10\,m/s$ entonces habrá viajado $10\,m$ après $1\,s$ . El $10\,m$ La distancia es la forma de pensar en los retornos, dado que siempre se utiliza alguna frecuencia (1s, 1m, 1y, etc.).

Ahora bien, si hay que darles dimensiones, entonces sugiero pensar que las nociones de rendimiento y varianza tienen una "unidad" $time^{-1}$ (al igual que la velocidad en mi ejemplo ingenuo) ya que normalmente se citan en anual términos (que es una elección de frecuencia). En consecuencia, la volatilidad debe tener la dimensión $time^{-1/2}$ que está de acuerdo con su fuente de cálculo estocástico y tiene una fórmula BS dimensionalmente correcta.

(P.D. Reconozco la incoherencia que habría al introducir la fórmula de la varianza, así que agradezco cualquier intuición mejor).