¿Por qué la fórmula de Black Scholes da un resultado de análisis dimensional incoherente?

Question

Por ejemplo, distancia = velocidad * tiempo, m = m/s * s.

Pero esta técnica da una respuesta errónea en la fórmula de Black Scholes. root cuadrada en el denominador da una unidad incorrecta dentro de la función de probabilidad culumulativa.

¿Se debe esto a que algunos supuestos utilizados en la ecuación cambiaron fundamentalmente la dimensión? ¿Cuál es la razón fundamental por la que la dimensión es inconsistente?

Answer 1

$C= S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$

$C$ , $S_0$ y $K$ tienen unidades monetarias (por ejemplo, USD).

$N(d1)$ y $N(d_2)$ no tienen unidades (sin dimensiones), la fórmula es dimensionalmente correcta.

Considerando,

$d1 = \frac {ln{\frac {S_0} K} + r T + \frac {\sigma^2} {2} T} {\sigma \sqrt T }$

$r$ y $\sigma^2$ tienen unidades de "por año", ya que se declaran sobre una base anualizada.

Así que, $\sigma$ tiene unidad de "root cuadrada de "por año"".

Por lo tanto, $d1$ también carece de dimensiones.