¿Existe algún resultado general sobre la sensibilidad del precio de los futuros a su vencimiento? Por ejemplo, tengo dos futuros sobre el mismo subyacente, pero con vencimiento en fechas diferentes. ¿Puedo decir cuál es más caro? ¿O depende del modelo/parámetros?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se trata de una cuestión algo más profunda de lo que parece a primera vista. Dependiendo del tratamiento que se dé a las tasas (determinista frente a estocástico), puede depender del modelo.
Pensemos primero en un contrato a plazo $F_T(t)$ te bloquea en una transacción al precio $F_T(t)$ sobre un $S(t)$ a la vez $T$ . En precio conocido de este contrato a la vez $t$ es
\begin{align} F_T(t) = S(t) \cdot e^{\int^T_t ( r(s) - q(s) ) ds} \end{align}
donde he asumido que el $S$ es libremente negociable (nótese que esto a veces no se cumple estrictamente para índices, VIX, etc.), y que el subyacente paga dividendos continuos al tipo $q$ y que ambos $r(t)$ y $q(t)$ son deterministas (de lo contrario necesitamos que aparezcan algunos términos de expectativa).
Podemos diferenciar este contrato mediante $T$ para calcular el efecto sobre su precio de un plazo de vencimiento más largo:
\begin{align} {\frac {\partial} {\partial T}} F_T(t) &= {\frac {\partial} {\partial T}} S(t) \cdot e^{\int^T_t ( r(s) - q(s) ) ds} \\ &= S(t) \cdot e^{\int^T_t ( r(s) - q(s) ) ds} \cdot {\frac {\partial} {\partial T}} \int^T_t ( r(s) - q(s) ) ds \\ &= S(t) \cdot e^{\int^T_t ( r(s) - q(s) ) ds} \cdot \bigl( r(T) - q(T) \bigr) \\ &= F_T(t) \cdot \bigl( r(T) - q(T) \bigr) \end{align}
Así que esto, como era de esperar, dice que $F_T(t)$ aumentará con $T$ si los tipos son positivos (ya que al negociar el futuro estamos "evitando" costes de financiación, y tenemos que pagar por ello), pero disminuirá con $T$ si los dividendos son positivos (ya que nos estamos perdiendo dividendos por no mantener el subyacente, y necesitamos una compensación por ello).
¿Qué relación existe entre los contratos a plazo y los futuros? Pues resulta que son lo mismo cuando ambos:
- los tipos y los dividendos son deterministas
- no existe riesgo de crédito de contraparte
Así que, como primera aproximación, puedes utilizar esta expresión para tus futuros $T$ -griego. Si desea extender esto a los tipos estocásticos las cosas se vuelven un poco más complicadas debido a los términos de correlación, véase por ejemplo aquí y aquí .
