T-Forward Precio en la medida neutral de riesgo

Question

Tengo una pregunta sobre la definición del precio T-forward en el libro de Robert J.Elliot: Mathematics of Financial Markets. En su capítulo 9, definición 9.1.3 p.249. Él da la fórmula sin explicar cómo puede ser posible. He tratado de entender por qué, pero sin éxito, por lo que publico la pregunta aquí para solicitar su ayuda.

Dando dos activos $S^1$ y $S^0$ que son activos con y sin riesgo, $P^{*}$ es la probabilidad neutra de riesgo sobre la que el activo de riesgo descontado es una martingala (tras la transformación de Girsanov).

Definió el precio de T-Forward $F(t,T)$ como el precio del activo de riesgo acordado en el momento $t\leq T$ que se pagará $S^1$ en el momento $T$ . Entonces dice que tal precio satisfizo que la demanda $S^1_T - F(t,T)$ es una martingala (bajo probabilidad neutra de riesgo), más fuertemente, una martingala cero. Entonces da la fórmula
$$ 0=E^{*}\left(\frac{S^1_T - F(t,T)}{S^0_T}\bigg|\mathscr{F}_t\right) $$ Este argumento me confundió. Después de lo que aprendí, la afirmación que es cero tiene que ser $S^1_T - F(T,T)$ podemos tenerlo porque el precio a plazo converge al precio al contado en el momento del vencimiento. Así que la fórmula tiene que ser
$$ 0=E^{*}\left(\frac{S^1_T - F(T,T)}{S^0_T}\bigg|\mathscr{F}_t\right) $$ en mi sentido. Pero si hago lo que pensaba, no puedo manipular la fórmula para tener el resultado final como se menciona hasta ahora en el libro $$ F(t,T) = \frac{S^1_t}{B(t,T)} $$
donde $B(t,T)$ es el bono de cupón cero.

Este punto es importante para mí porque ayuda a entender toda la teoría del cambio numérico, y el precio T-Forward para otra reclamación. ¿Alguien puede sugerir algo por favor? Gracias

Answer 1

Para el comprador de un contrato a plazo, el beneficio es $S_T - K$ en el momento $T$ ya que en esta fecha paga $K$ y obtiene el subyacente a cambio. Considere la siguiente estrategia: comprar la acción $S$ y vender $K$ bonos de cupón cero con vencimiento $T$ . En cualquier momento $t$ El valor de su cartera es $$ \Pi_t = S_t - KB(t,T) $$ En particular, en el momento $T$ Es decir, es $S_T - KB(T,T) = S_T - K$ el precio de nuestro contrato a plazo, por lo que, en ausencia de arbitraje, el contrato a plazo debe tener el mismo valor que nuestra cartera en cada $t \leq T$ (de lo contrario, podría comprar el más barato, vender el otro, invertir la diferencia al tipo libre de riesgo y obtener un beneficio casi seguro en el momento $T$ ).
$$ Forward_t = S_t - KB(t,T) $$ Por definición, el $T$ -Precio futuro $F_t^T$ es la "huelga justa" $K$ fijado en $t$ para que el valor en $t$ del contrato a plazo es cero. Es evidente que debemos establecer
$$ K = F_t^T = \frac{S_t}{B(t,T)} $$

Veamos el enfoque de la martingala. Al igual que para cualquier reclamación contingente, tenemos la propiedad de la martingala $$ \frac{Forward_t}{S^0_t} = E^*[ \frac{Forward_T}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] = E^*[ \frac{S_T - K}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] $$ que es otra forma de decir que tenemos la fórmula de precios $$ Forward_t = S^0_t E^*[ \frac{S_T - K}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] = E^*[e^{-\int_t^T r_s ds}(S_T -K) | \mathcal{F}_t ] $$ Separación de la $S$ y $K$ partes obtenemos $$ Forward_t = S^0_t E^*[ \frac{S_T}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] - KS^0_t E^*[ \frac{1}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] = S_t - K B(t,T) $$ La última igualdad es la siguiente

• para el primer término a partir del hecho de que $\frac{S}{S^0}$ es una martingala: $E^*[ \frac{S_T}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] = \frac{S_t}{S^0_t} $ (suponemos que $S$ no paga dividendos).
• para el segundo término de la definición de $B(t,T)$ como el precio de un contrato que paga 1 en el momento $T$ .

Y una vez más nos encontramos con que $T$ -Precio a plazo de $S$ en el momento $t$ es $$ F_t^T = \frac{S_t}{B(t,T)} $$

Nótese que no es cierto que la fórmula "tenga que ser" $$ 0=E^{*}\left(\frac{S^1_T - F(T,T)}{S^0_T}\bigg|\mathscr{F}_t\right) $$ Que su expectativa (condicional) tenga que ser cero no significa que la variable aleatoria tenga que ser cero. Evidentemente, la $T$ -Precio a plazo en el momento $T$ es $F(T,T) = S_T$ pero en $t < T$ el precio a plazo $F_t^T$ es mayor que el precio al contado $S_t$ y puede ser mayor o menor que lo que $S_T$ lo será con el tiempo.

Espero que eso ayude.

Answer 2

En primer lugar, analicemos la afirmación de que $\frac{(S_t - F(t,T)}{S_{0}}$ es una martingala bajo una medida neutral de riesgo dada $P^{*}$ . Recordemos que la propiedad crucial de una martingala es que en algún momento del tiempo $t$ un proceso $\tilde{S}_{t}$ es una martingala si para algún tiempo $t+\Delta$ el valor esperado de $\tilde{S}_{t+\Delta}$ es $S_t$ .

Así que vamos a empezar, supongamos que tenemos una filtración denotada por $I_t$ -- aquí se intuye $I_t$ corresponde a la información que tenemos en el momento $t$ en nuestro espacio de probabilidad.

Dejemos que $\tilde{S}_{t} = \frac{(S_{t+\Delta} - F(t+\Delta,T)}{S_{0}}$ . Ahora tomemos el valor esperado de este proceso con respecto a la información que tenemos en el momento $t$ . \begin{equation} E_{P^{*}}(\tilde{S}_{t+\Delta}|I_{t}) = E_{P^{*}}(\frac{S_{t+\Delta} - F(t+\Delta,T)}{S_{0}})\ldots(1) \end{equation} Si suponemos que el rendimiento del precio de las acciones es un proceso de Weiner, entonces utilizando la propiedad de linealidad de las expectativas tenemos que, \begin{equation} E_{P^{*}}(S_{t+\Delta}/S_{0}) = S_{t}. \end{equation} Del mismo modo, bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo tenemos que $F(t+\Delta ,T) = F(t,T)$ -- esto es por definición del precio a plazo neutral al riesgo para el tiempo $[t,T]$ . Si sustituimos esto en la ecuación (1) obtenemos que, \begin{equation} E_{P^{*}}(\tilde{S}_{t+\Delta}|I_{t}) = \tilde{S}_{t}. \end{equation} Esto demuestra el resultado deseado: el proceso $\tilde{S}_t$ es una martingala.

Para ver lo que esto significa realmente, vamos a analizar lo que $\tilde{S}_{t}$ se compone de. En particular $\tilde{S}_{t}$ comprende acciones y bonos. Usando su notación aquí, estamos largos una sola acción dada por $S_t$ y un bono corto con rendimiento $F(t,T)$ . Si esta cartera replica el pago del valor derivado, como decimos, entonces el precio esperado del valor en el momento $t+\Delta$ es el precio de la cartera en el momento $t$ -- esto se debe a la propiedad de martingala demostrada anteriormente. De hecho, es más cierto. Dado que estamos valorando esto bajo una medida neutral al riesgo, también podemos decir que este precio esperado es de hecho el precio libre de arbitraje de la cartera, y por lo tanto el precio de arbitraje del valor subyacente.