¿Cómo extraer los parámetros del modelo CIR a partir de los datos?

Question

Quiero extraer los parámetros del CIR de los datos mensuales del LIBOR con el método EULER-MARYAMA en lenguaje MATLAB. He encontrado los datos pero no puedo extraer los parámetros de ellos. ¿Cuál es el proceso? ¿Cuál es la fórmula?

Answer 1

Como se sabe, el modelo CIR es el proceso de root cuadrada dado por la siguiente ecuación diferencial estocástica $$d{{r}_{t}}=\kappa (\theta -{{r}_{t}})dt+\sigma \sqrt{{{r}_{t}}}d{{W}_{t}}$$ Dejemos que $\Theta=(\kappa,\theta,\sigma)$ . Es bien sabido que, condicionado a un valor realizado de $r_t$ la variable aleatoria $2c_t\,r_{t+\Delta t}$ sigue una distribución chi-cuadrado no central con $d = 4\kappa\theta/\sigma^2$ grados de libertad y parámetro de no centralidad $2c_t\,r_te^{\Delta t}$ , donde $$c_t=\frac{2\kappa }{{{\sigma }^{2}}\,[1-{{e}^{-\kappa \Delta t}}]}$$ En efecto, la densidad de $r_{t+\Delta t}$ es $$P(r_{t+\Delta t}|r_t;\Theta)=c\,e^{-u-v}(\frac{u}{v})^{\frac{q}{2}}I_q(2\sqrt{uv})$$ donde

$$\,\,\,u_t=c_t\,r_te^{\Delta t}$$ $$v_t=c_t\,r_{t+\Delta t}$$ $$\,\,\,\,\,\,\,q=\frac{2\kappa\theta}{\sigma^2}-1$$ y $I_q(2\sqrt{uv})$ es una función de Bessel modificada del primer tipo y de orden $q$ . La densidad de transición se ha derivado originalmente en este .

La estimación de los parámetros se realiza sobre series temporales de tipos de interés con N observaciones Consideramos observaciones igualmente espaciadas con $\Delta t$ tiempo. La probabilidad para series temporales de tipos de interés con $N$ observaciones es el paso $$L(\Theta )=\prod\limits_{i=1}^{N-1}{P({{t}_{t+\Delta t}}}|\,{{r}_{t}}\,;\,\Theta )$$ Es computacionalmente conveniente trabajar con la función log-verosimilitud $$\ln L(\Theta )=\sum\limits_{i=1}^{N-1}{\ln P({{t}_{t+\Delta t}}}\,|{{r}_{t}}\,;\,\Theta )$$ a partir de la cual derivamos fácilmente la función de log-verosimilitud del proceso CIR $$\ln L(\Theta )=(N-1)\ln c+\sum\limits_{i=1}^{N-1}{\left( -{{u}_{{{t}_{i}}}}-{{v}_{{{t}_{i}}}}+\frac{1}{2}q\,\ln \left( \frac{{{v}_{{{t}_{i+1}}}}}{{{u}_{{{t}_{i}}}}} \right)+\ln {{I}_{q}}(\sqrt{2{{u}_{{{t}_{i}}}}{{v}_{{{t}_{i+1}}}}} \right)}$$ Se pueden encontrar estimaciones de máxima verosimilitud $\widehat{\Theta }$ del parámetro vector $\Theta$ maximizando la última ecuación de la función log-verosimilitud sobre su espacio de parámetros: $$\widehat{\Theta }=arg\,\underset{\Theta }{\mathop{max}}\,\,\ln \,L(\Theta )$$