Demostrar que un proceso de root cuadrada tiene una distribución Chi-cuadrado no central

Question

¿cómo puedo demostrar que el valor en algún momento futuro $t'$ , $x_{t'}$ del proceso de root cuadrada en el momento actual $t$ , $x_t$ ¿se distribuye el Chi-cuadrado?

$dx_t = k(\theta - x_t)dt + \beta \sqrt{x_t}dz_t$

explícitamente:

$x_{t'} = x_t e^{-k(t'-t)} + \theta (1 - e^{-k(t'-t)}) + \beta \int_t^{t'} e^{-k(t'-u)}\sqrt{x_u}dz_u$

Acabo de llegar a la media y la varianza por la isometría de Ito:

$E_t[x_{t'}] = \theta + (x_t - \theta) e^{-k(t'-t)}$

y

$Var_t[x_{t'}] = \frac{\beta^2 x_t}{k} (e^{-k(t'-t)} - e^{-2k(t'-t)}) + \frac{\beta^2 \theta}{2k} (1 - e^{-k(t'-t})^2$

en el caso Ornstein-Uhlenbeck no hay $\sqrt{x_t}$ en la volatilidad y, por tanto, la integral estocástica se distribuye normalmente y todo está bien

por desgracia, nunca he conocido la distribución Chi-cuadrado no central antes, así que no soy capaz de entender cómo llegar a ella (también porque parece en sí mismo bastante un lío para mí)

Answer 1

Para responder a esto, resumo un párrafo de "Interest rate models - An Introduction" de A.Cairns: Para $i=1,\ldots,d$ considerar los procesos OU $$ dX^i_t = -\frac 12 \alpha X^i_t dt + \sqrt{\alpha} dW^i_t. $$ Mirando el radio al cuadrado $R_t = \sum_{i=1}^d (X^i_t)^2 $ (en $\mathbb{R}^d$ ) de este proceso obtenemos por Ito: $$ dR_t = \sum_{i=1}^d (2 X^i_t dX^i_t) + d \alpha dt. $$ Utilizando la definición de $R_t$ introduciendo un nuevo movimiento browniano $B_t$ obtenemos en la distribución que que $$ dR_t = \alpha (d - R_t) dt + \sqrt{4 \alpha R_t} dB_t. $$ Definición de $r_t = R_t/\theta$ con $\theta = 4\alpha/\sigma^2$ este es el modelo CIR. Esto da una buena interpretación geométrica. Soy consciente de que no todos los detalles están cubiertos aquí.

Recordemos la definición de la distribución chi-cuadrado no central. Sea $$ R = \sum_{i=1}^d (W_i + \delta_i)^2 $$ y $\lambda = \sum_{i=1}^d \delta_i^2$ entonces $R$ tiene una distribución chi-cuadrado no central con $d$ grados de libertad y parámetro de no centralidad $\lambda$ .

Desde el $X_i^t$ arriba se distribuyen normalmente con varianza $1- e^{-\alpha t}$ vemos que $R_t/(1- e^{-\alpha t})$ tiene una distribución chi-cuadrado no central. Finalmente tenemos que para $d = 4 \alpha \mu/\sigma^2$ que $4 \alpha r_t/(\sigma^2 (1- e^{-\alpha t}))$ tiene una distribución chi-cuadrado no central con $d$ grados de libertad y parámetro de no centralidad $\lambda = 4 \alpha r_0/(\sigma^2 (1- e^{-\alpha t}))$ .

Con la condición de $r_t$ sustituir $r_0$ por $r_t$ .

Las respuestas entonces son: i) Sí, la variable que tiene distribución chi-cuadrado no central es la expresión complicada que mencionas.

ii) Sólo esta complicada expresión tiene una distribución chi-cuadrado no central - $r_s$ no lo es. Como se ve en el enlace la distribución chi-cuadrado no central se relaciona con gaussianas estandarizadas (varianza igual a 1). Tal vez la Distribución chi-cuadrado generalizada podría ser de ayuda. Pero no sé esto.

Answer 2

Sugerencia

dejar $s\le t$ y $$P(s,y\,;\,t,x)=P(r_t\le x|r_s=y)$$ La probabilidad de transición $P(s,y\,;\,t,x)$ satisfacen la ecuación de Kolmogorov de retroceso $$\frac{\partial P}{\partial s}+\kappa (\theta -{{r}_{s}})\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{r}_{s}}\frac{{{\partial }^{2}}P}{\partial {{r}^{2}}}=0\quad \,\,(1)$$ $$P(s,y\,;\,t,x)=\delta_x\,\,,\,\,s\to t$$ definimos $$f(\tau,u,{{r}_{s}})=\mathbb{E}[e^{\large{iur_t}}|\,r(s)]$$ donde $\tau=t-s$ . Sabemos que el proceso CIR es un proceso afín, por lo tanto $$f(\tau ,u,{{r}_{s}})=\exp [A(\tau\,,\,u)+B(\tau\,,\,u){{r}_{s}}]$$ donde \begin{align} & A(0\,,\,u)=0 \\ & B(0\,,\,u)=iu \\ \end{align} Sustituir por $f$ en $(1)$
$$\frac{\partial f}{\partial s}+\kappa (\theta -{{r}_{s}})\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{r}_{s}}\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{r}^{2}}}=0\,.$$ Nota \begin{align} & \frac{\partial f}{\partial s}=-\left( \frac{\partial A}{\partial r}+{{r}_{s}}\frac{\partial B}{\partial r} \right)f \\ & \frac{\partial f}{\partial r}=B\,f \\ & \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{r}^{2}}}={{B}^{2}}f \\ \end{align} como resultado $$\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{r}_{s}}{{B}^{2}}+\kappa (\theta -{{r}_{s}})B-\frac{\partial B}{\partial s}{{r}_{s}}-\frac{\partial A}{\partial s}=0$$ set $r_s=0$ entonces $$\frac{\partial A}{\partial s}=\kappa \theta B$$ ajuste $r_s=1$ entonces $$\frac{\partial B}{\partial s}+\kappa B=\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{B}^{2}}$$ La primera ecuación es una ecuación diferencial ordinaria y la segunda es la ecuación de Riccati. Si se resuelven estas ecuaciones entonces $$f(t-s,u,{{r}_{s}})={{\left( 1-\frac{iu}{{{c}_{t}}} \right)}^{-\frac{2\kappa \theta }{{{\beta }^{2}}}}}\exp \left( \frac{i\,u{{e}^{-\kappa (t-s)}}}{1-\frac{iu}{c_t}}{{r}_{s}} \right)$$ donde \begin{align} & {{c}_{t}}=\frac{2\kappa }{{{\beta }^{2}}\,[1-{{e}^{-\kappa (t-s)}}]} \\ & k=\frac{4\kappa \theta }{{{\beta }^{2}}} \\ & {{\lambda }_{\,t}}=2{{c}_{t}}\,{{r}_{s}}{{e}^{-\kappa (t-s)}} \\ \end{align} Por aplicación de la transformada inversa de Fourier tenemos $$p(s,y;\,t,x)=\frac{1}{2}{{e}^{-\frac{1}{2}(2{{c}_{t}}{{r}_{t}}+{{\lambda }_{t}})}}{{\left( \frac{2{{c}_{t}}{{r}_{t}}}{{{\lambda }_{t}}} \right)}^{\frac{k}{4}-\frac{1}{2}}}{{I}_{\frac{k}{2}-1}}(\sqrt{2{{c}_{t}}{{r}_{t}}{{\lambda }_{t}}})$$

Answer 3

Prueba en el documento de Feller: http://www.jstor.org/stable/1969318