¿Cómo anualizar la matriz de correlación?

Question

Si los retornos de activos son diarios, y la matriz de covarianza de retornos de activos, $\Sigma$, se anualiza por $\Sigma \times 252$, ¿también debo multiplicar la matriz de correlación por 252 para anualizarla?

Answer 1

No, porque la correlación es una cantidad sin unidades. Al usar volatilidades para hacer la escala, el factor $\sqrt{252}$ debería ser tomado en cuenta en ellas.

Si tomas una correlación de 1 entre dos activos, multiplicar tu matriz de correlación por un factor $C \neq 1$ corre el riesgo de subestimar las correlaciones (al ocultar correlaciones perfectas) o hacer que tu matriz no tenga sentido (correlación mayor que 1).

Answer 2

No.

Por definición,

Corr[x, y] = Cov[x, y] / Sqrt( Var[x] Var[y] )

donde x y y son los rendimientos diarios de dos activos.

Si anualizar la matriz de covarianza (y de varianza) de rendimientos diarios requiere una multiplicación por 252, entonces la correlación de los rendimientos anuales anuales X y Y es

Corr[X, Y] = Cov[X, Y] / Sqrt( Var[X] Var[X] ) = 252 Cov[x, y] / Sqrt( 252 Var[x] 252 Var[y] )

porque las varianzas y covarianzas son los elementos de la matriz de covarianza.

Cancelando 252^2 dentro de la raíz cuadrada y 252 en el numerador hace que el último miembro cumpla con la definición de la correlación de los rendimientos diarios. Por lo tanto,

Corr[X, Y] = Corr[x, y]

Dado que 252 podría ser sustituido por cualquier otra constante, la correlación es invariante con el período de los rendimientos.

Notas:

1. La suposición de que la matriz de covarianza de los rendimientos logarítmicos escala con el período de dichos rendimientos se cumple si el rendimiento de un activo no está correlacionado con los rendimientos pasados del mismo u otros activos, y, dado un período arbitrario para medir los rendimientos, las covarianzas son las mismas sin importar el comienzo de dicho período.
2. La varianza es un caso particular de una covarianza de una variable consigo misma: Cov(X, X) = Var(X). Por lo tanto, si la covarianza escala con el período de los rendimientos, también lo debe hacer la varianza.