Interpretación y unidades de un elemento de covarianza en el riesgo de cartera

Question

Dado que el riesgo de la cartera es $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ donde $\boldsymbol{\Sigma}$ es la matriz de covarianza cuyos elementos diagonales $\sigma^2_{n}$ son las varianzas individuales de los rendimientos de los activos y cuyos elementos no diagonales son las covarianzas por pares de los activos, $\sigma_{n,\neg n}$

cuál es la interpretación del elemento $\sigma_{1,2}$ en $\boldsymbol{\Sigma}$ ¿Cómo describiría sus unidades?

Si $\sigma_{1,2}=0.1$ ¿sería correcto decir lo siguiente?

"los movimientos de los rendimientos del activo 1 en promedio covarían con los movimientos de los rendimientos del activo 2 en un 10% de desviaciones estándar y viceversa"

Answer 1

El problema de la interpretación y de las unidades, es decir, la falta de una respuesta fácilmente intuitiva, es precisamente la razón por la que los cuantificadores/econometristas, etc., tienden a evitar hablar demasiado de las covarianzas [aunque sean absolutamente necesarias; y se utilicen con frecuencia]. Por lo tanto, si hay que interpretar, y más aún explicar, cualquier cosa que implique covarianzas, se suele expresar por defecto en términos de correlación, que sí tiene unidades intuitivas: acotada [-1,1] con 0 = independencia, etc.

Cor(1,2) = Cov(1,2) / ( sd(1) * sd(2) )

Cov(1,2) = Cor(1,2) * sd(1) * sd(2)

Así que las "unidades" aquí son una mezcla de productos de tres medidas, cada una con sus propias unidades: dos volatilidades y una medida de asociación acotada. Como tales, existen pero carecen de una explicación intuitiva.

Lo más parecido que se puede hacer es expresar la covarianza como un cambio marginal en la varianza de la cartera por un cambio unitario en el producto de las ponderaciones 1 y 2. Lo que sigue siendo poco elegante en el extremo, para ser educado ;-)

Recordemos también que la beta OLS tradicional puede expresarse como

Beta(1|2) = Cov(1,2) / Var(2) = E(d1) / d2

E(d1) = Cov(1,2) * d2/Var(2)

Así que un cambio de +1 en el Activo2 tiene un efecto de +0,1 dividido por su varianza en el Activo1. Que es lo mismo que decir que un movimiento de +1 sigma en el Activo2 tiene un 0,1 dividido por su desviación estándar en el Activo1. Que es lo mismo que decir (donde Z=1 es un choque de 1 sigma):

d1/d2 = Cov(1,2) / Var(2)

d1/z2 = Cov(1,2) / SD(2)

z1/z2 = Cov(1,2) / (SD(1) * SD(2)) = ¡Cor(1,2)!

Así que la forma de hacer intuitiva la clase de afirmación que intentas hacer arriba sigue siendo traducir tus covarianzas en correlaciones (intuitivas) sin unidades. Un movimiento de un sigma en 1 o 2 tendrá un efecto marginal Cor(1,2) sigma en el otro.

Sea cual sea el enfoque, siempre es necesario procesar la covarianza a través de una métrica adicional (con sus propias unidades, ya sean rentabilidades absolutas, rentabilidades ajustadas a la volatilidad o ponderaciones) para generar cualquier resultado explicativo intuitivo. El método tradicional w.Cov.w es eficaz para predecir el riesgo de la cartera, pero cuando se trata de interpretarla y explicarla, fracasa estrepitosamente. Por eso las publicaciones muestran inevitablemente las matrices de correlación asociadas de forma preferente. Las dos darán siempre los mismos resultados/previsiones; la elección entre las dos es, en última instancia, una cuestión de predicción frente a la interpretación (es decir, de presentación).

Answer 2

Así pues, supongamos que la cartera se compone en su totalidad de consolas o bonos de descuento de un solo periodo. Esto sería dudoso para la renta variable porque $$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ y $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$ si se ignora el efecto de los dividendos. Esto hace que los rendimientos sean la distribución del producto de dos distribuciones de ratio. Los modelos como el CAPM escapan a este problema asumiendo que todos los parámetros son conocidos y que nadie está haciendo ninguna estimación. Bajo supuestos leves, estos rendimientos no tendrían una matriz de covarianza definida ni siquiera en el espacio logarítmico.

Sin embargo, con respecto a su pregunta, es importante recordar que parámetros como $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$ se consideran puntos fijos en la teoría frecuentista. Los modelos como el CAPM no funcionan en un espacio bayesiano porque los parámetros son variables aleatorias.

Así que, en respuesta a su pregunta, las unidades de $\sigma_{i,j}$ están en los rendimientos de exceso/déficit cuadrados con signo de dirección de la expectativa conjunta. Podría considerarse como un área con dirección.

La interpretación habitual es siempre a escala de la varianza observando que $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$

Answer 3

@develarist: He leído un poco más y va así. ( no estoy hablando de esto con respecto al CAPM ni comentando tu actual discusión con Dave). Supongamos que tienes $\sigma_{(1,2)}$ que denota la covarianza (de los rendimientos) de la acción 1 y la acción 2. Denotemos $x$ como los rendimientos ( en la muestra ) de la acción 1 y $y$ como los rendimientos ( en la muestra ) de la acción 2.

El primer paso para la interpretación es tomar $\sigma_{(1,2)}$ y dividirlo por la varianza muestral de los rendimientos de la acción 1. Llamemos a esto $\beta_{(1,2)}$ . Entonces, una vez hecho esto, $\beta_{(1,2)}$ puede interpretarse como el coeficiente ( no el intercepto. el otro) de una regresión simple de los rendimientos de la acción 1 frente a los rendimientos de la acción_2 donde los rendimientos de la acción 2 son la respuesta ( $y$ ) y los rendimientos de la acción 1 son el predictor ( $x$ ).

El hecho de que $\sigma_{(1,2)}$ es 0,1 realmente no significa mucho porque que tiene que ser dividido por la varianza de la muestra de los rendimientos de la acción 1 para que tenga la interpretación de regresión descrita. Por supuesto, si la varianza de la muestra de los rendimientos de la acción 1 fuera 1,0, entonces se podría interpretar la covarianza como la cantidad estimada que aumenta el rendimiento de la acción 2 por cada unidad de aumento en el rendimiento de la acción 1.

Nótese que la aparente contradicción a la que me refería en mi post original (y que me confundía) no existe porque si invertimos la regresión y hacemos que los rendimientos de la acción 1 (x) sean la respuesta y los rendimientos de la acción 2 ( y) el predictor, entonces habría que dividir la covarianza, $\sigma_{(1,2)}$ por la varianza muestral de los rendimientos de la acción 2 (y) en lugar de la varianza muestral de los rendimientos de la acción 1 (x). Por tanto, no hay ninguna incoherencia en la definición. Espero que esto aclare las cosas.

Ah, además, por lo que veo, tampoco parece haber ninguna relación entre la covarianza y la R^2 de la regresión, que yo creía erróneamente. Mis disculpas por la confusión allí.