¿Tienen las opciones americanas perpetuas funciones de forma cerrada para calcular las griegas?

Question

Me preguntaba si existen fórmulas analíticas para calcular la delta o la gamma de las opciones americanas perpetuas.

Answer 1

La ecuación diferencial de Black-Scholes es una EDP de segundo orden en dos dimensiones y se lee como \begin {align*} \frac { \partial f}{ \partial t} + rx \frac { \partial f}{ \partial x} + \frac {1}{2} \sigma ^2 x^2 \frac { \partial ^2 f}{ \partial x^2}-rf&=0, \\ \Theta +rx \Delta + \frac {1}{2} \sigma ^2 x^2 \Gamma -rf&= 0, \end {align*} asumiendo que $f\in \mathcal{C}^{1,2}([0,T]\times\mathbb{R})$ . Con las condiciones adecuadas de los límites, $f(t,S_t)$ es entonces el valor de una demanda europea, independiente de la vía.

En el caso de las opciones perpetuas cuyo precio $f=f(S_t)$ no depende del tiempo, $\Theta$ desaparece, lo que reduce el problema de precios a una EDP de segundo orden en una dimensión (es decir, una EDO) \begin {align*} rx \frac { \mathrm {d} f}{ \mathrm {d} x} + \frac {1}{2} \sigma ^2 x^2 \frac { \mathrm {d}^2 f}{ \mathrm {d} x^2}-rf&=0. \end {align*} Esta EDO se puede resolver adivinando $f(x)=x^n$ . Entonces, \begin {align*} nrx^n + \frac {1}{2} \sigma ^2 n(n-1) x^n-rx^n&=0, \end {align*} que, después de dividir por $x^n$ da lugar a una ecuación cuadrática en $n$ con soluciones $n_1=1$ y $n_2=-\frac{2r}{\sigma^2}<0$ . La solución general viene dada entonces por $$f(x) = A x^{n_1} + B x^{n_2}.$$

Centrémonos en una opción de venta con precio de ejercicio $K$ . Dado que no hay dependencia de $t$ la condición óptima de ejercicio $s$ es una constante y obtenemos tres casos

1. $x<s$ : La opción debe ser ejercida y por lo tanto, $f(x) = K-x$ ,
2. $x=s$ : Condición de pegado suave: $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=s}=-1$ y
3. $x>s$ el precio viene dado por la EDO anterior con la condición de contorno $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$ .

La condición 3) implica que $A=0$ que se puede encontrar en $f(x)=Bx^{n_2}$ . \begin {align*} 1) & \implies Bx^{n_2}=K-x \implies Bs^{n_2}=K-s \\ 2) & \implies Bn_2s^{n_2-1} = -1 \implies Bn_2s^{n_2} = -s \end {align*}

Ambas ecuaciones se satisfacen si $s=\frac{Kn_2}{n_2-1}=\frac{2rK}{\sigma^2+2r}$ . Además, obtenemos $B=\frac{\sigma^2}{2r}\left( \frac{2rK}{\sigma^2+2r}\right)^{1+\frac{2r}{\sigma^2}}$ . Así, finalmente, \begin {align*} P(S_t) = \begin {casos} K-S_t & \text {si } S_t<s, \\ BS_t^{n_2} & \text {si } S_t \geq s. \end {casos} \end {align*}

Delta y Gamma de su opción de venta son entonces \begin {align*} \Delta &= \begin {casos} -1 & \text {si } S_t<s, \\ Bn_2S_t^{n_2-1} & \text {si } S_t \geq s. \end {casos} \\ \Gamma &= \begin {casos} 0 & \text {si } S_t<s, \\ Bn_2(n_2-1)S_t^{n_2-2} & \text {si } S_t \geq s. \end {casos} \end {align*}

Tenga en cuenta la relación entre Gamma y Delta en el caso $S_t\geq s$ como en la EDO de arriba. Evidentemente, su opción no tiene Theta, mientras que Vega y Rho pueden obtenerse mediante la regla del producto. La fórmula del precio también le proporciona una regla de ejercicio y le indica cuándo debe ejercer su opción. También es posible que quiera leer este post estelar .