American Opciones de relación entre los griegos

Question

Considerando una opción Americana en un modelo Black-Scholes, hay una relación entre la Vega y Gamma como se tiene en el caso Europeo?

Soy consciente de una exacta relación sería difícil de encontrar. Pero en la práctica hay una especie de aproximada de la relación entre estas dos cantidades?

Answer 1

No, usted no debe esperar que esa relación se mantenga en general. La razón es que las opciones Estadounidenses tienen "un ejercicio de la barrera", que opciones Europeo no, y esto se traduce en diferentes precios y griegos.

En el caso de las opciones put (con tasa de interés $r>0$) como el precio spot cae, en algún punto es óptimo para el ejercicio temprano y tomar el dinero en efectivo. Más allá de este punto, la opción se comporta como una posición corta en la acción, por lo que su delta es exactamente -1 y su gamma es cero. El punto cruza a través de esta barrera, la gamma de los saltos.

Vega, por otro lado, no tiene una discontinuidad. La siguiente tabla muestra el precio de una Europeos y Americanos con la huelga de 100, a los tres meses de su vencimiento, tasa libre de riesgo del 15% y la volatilidad del 20%. Los precios Europeos y griegos son del modelo Black-Scholes, y los Americanos los precios y los griegos son de un binomio árbol.

Tenga en cuenta que cuando el precio de contado es lo suficientemente lejos de los principios de ejercicio de la barrera, es poco probable que la cruzan, y la opción se comporta como un Europeo. En este caso se espera que el estándar de la relación entre gamma y vega,

$$\nu = \sigma\tau S^2 \Gamma$$

aproximadamente el hold. El gráfico siguiente muestra cómo esta relación se mantiene cuando el precio spot está bastante por encima de la huelga, pero se rompe cuando se acerca el ejercicio temprano de la barrera.

Answer 2

Una manera de pensar Americano de ejercicio de las opciones es la de romper con su valor de $V_A$ abajo en un valor debido a la europea, el ejercicio, $V_E$, y un "premium" debido a la posibilidad de ejercicio anticipado, $V_P$

$$ V_A = V_E + V_P $$

Desde la diferenciación operador es lineal, entonces tenemos términos similares para la gamma y vega

$$ \Gamma_A = \Gamma_E + \Gamma_P $$

$$ \aleph_A = \aleph_E + \aleph_P $$

Para el "componente europeo" el estándar de relación se mantiene

$$ \aleph_E = S^2 \sigma \tau \Gamma_E $$

En la medida en que el ejercicio de la prima $V_P$ y sus derivados son pequeños en comparación con los $V_E$ y sus derivados, el estándar de la opción europea de la relación tiene en la aproximación

$$ \begin{aligned} \aleph_A &= S^2 \sigma \tau \Gamma_E + \aleph_P \\ &= S^2 \sigma \tau\Gamma_A-\Gamma_P) + \aleph_P \\ &= S^2 \sigma \tau \Gamma_A + \underbrace{(\aleph_P -S^2 \sigma \tau\Gamma_P)}_{\text{Pequeño términos}} \end{aligned} $$ y del mismo modo

$$ \Gamma_A = \frac{\aleph_A}{S^2 \sigma \tau} + \underbrace{\Gamma_P - \frac{\aleph_P}{S^2 \sigma \tau}}_{\text{Pequeño términos}} $$