Nota: Esta pregunta está relacionada con la siguiente pregunta sobre mercados completos en tiempo continuo . En la pregunta enlazada, la respuesta menciona que los mercados completos en este entorno son un resultado del teorema de la representación de Martingala.
Estoy tratando de entender el enunciado del teorema que se da en su artículo de Wikipedia :
Dejemos que $B_t$ sea un movimiento browniano en un espacio de probabilidad filtrado estándar $(\Omega, \mathcal F, \mathcal F_t, P)$ y que $\mathcal G_t$ sea el aumento de la filtración generado por $B$ . Si $X$ es una variable aleatoria cuadrada integrable y medible con respecto a $\mathcal G_\infty$ entonces existe un proceso predecible $C$ que se adapta con respecto a $\mathcal G_t$ , de tal manera que $$ X = E[X] + \int_0^\infty C_s dB_s. $$ En consecuencia, $$ E[X \mid G_t] = E[X] + \int_0^t C_s dB_s. $$
En esta definición, ¿dónde está la relación con Martingales? Veo que se supone que $X$ es integrable al cuadrado con respecto a $\mathcal G_\infty$ y supongo que tiene algo que ver con el hecho de que $\mathcal G_t$ es un "aumento de la filtración generada por $b$ ." Además, ¿qué es un "aumento de una filtración"?
