Soy la última persona que debería responder a preguntas de tiempo continuo como éstas, pero si no hay nadie más supongo que lo intentaré. (Cualquier corrección de mis finanzas de tiempo continuo tenuemente recordadas será muy bienvenida).
Mi impresión siempre ha sido que esto se interpreta mejor como una consecuencia de la teorema de la representación martingala . Primero, sin embargo, estableceré algunas notaciones. Dejemos que el espacio de probabilidad sea generado por el $n$ procesos Wiener independientes $(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$ . Que haya $n+1$ activos, donde el valor del $i$ a activo en $t$ viene dada por $S_t^i$ . Supongamos que el activo $i=0$ es un bono sin riesgo $dS_t^0=r_tS_t^0dt$ , mientras que los activos $i=1,\ldots,n$ son cada uno de ellos de riesgo y son manejados por el correspondiente $Z_t^i$ : $$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ Supongamos que existe un proceso SDF estrictamente positivo $m_t$ normalizado a $m_0=1$ , de tal manera que $m_tS_t^i$ es una martingala para cada $i$ (básicamente la definición de SDF) y donde $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ (Yo uso $\cdot$ como el producto punto, lo cual será conveniente).
Por último, deja que el $n+1$ -vector de dimensiones $\theta_t$ sea nuestra cartera en el momento $t$ de tal manera que el patrimonio neto $A_t$ viene dada por $A_t=\theta_t\cdot S_t$ . Supongamos que $A_0$ es fijo y que además tenemos $$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ Ahora expondré el objetivo, que capta la esencia de los mercados completos. Supongamos que el mundo se acaba en el momento $T$ y que queremos un valor neto $A_T$ para igualar un determinado estocástico $Y$ que puede depender del historial completo hasta el momento $T$ . Supongamos que $A_0=E_0[m_TY]$ , por lo que en un mundo con mercados completos podríamos (a $t=0$ ) utilizan nuestra riqueza inicial $A_0$ para comprar el tiempo $t=T$ pago $Y$ . En ausencia de estos mercados completos directos, la cuestión es si hay sin embargo, alguna estrategia para la cartera $\theta_t$ que nos permitirá obtener $A_T=Y$ en todos los estados del mundo. Y la respuesta, en este escenario, es sí.
En primer lugar, se puede calcular $d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$ . Así, $m_tS_t$ siendo una martingala implica que $m_tA_t$ es una martingala. Por lo tanto, tenemos $A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$ si $$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ para todos $t\in[0,T]$ . Tenga en cuenta que esto es cierto para $t=0$ por suposición; por lo tanto, para obtener la igualdad sólo es necesario demostrar que los incrementos son siempre iguales en ambos lados.
Ahora entra en juego el teorema de la representación martingala. Dado que $E_t[m_TY]$ es una martingala, podemos escribir $$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ para algún proceso predecible $\phi_s$ . Así que tenemos que ser capaces de mostrar $d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ . Escribir $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ vemos que necesitamos $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$ para cada activo de riesgo $i=1,\ldots,n$ que podemos invertir para obtener la elección de la cartera necesaria $\theta_t^i$ : $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ La elección de la cartera de activos sin riesgo $\theta_t^0$ puede ser retirado de $A_t=\theta_t\cdot S_t$ .
La intuición aquí es simple: necesitamos tener siempre $A_t$ ajustar para mantener la igualdad $m_tA_t=E_t[m_TY]$ pero tanto la expectativa de la derecha como el SDF $m_t$ a la izquierda se mueven en respuesta a los procesos de conducción $dZ_t^i$ . Por lo tanto, tenemos que elegir una cartera $\theta_t$ tal que $dA_t$ compensa con precisión estos movimientos y la ecuación se mantiene. Y siempre podemos hacerlo mientras localmente, nuestros activos abarquen todos los riesgos $dZ_t^i$ -- que puede ocurrir de forma más general, incluso para $n$ activos correlacionados siempre que sus incrementos sean localmente linealmente independientes. (El caso aquí de $n$ activos de riesgo, cada uno de los cuales es arrastrado por un movimiento browniano independiente).
