¿Justificación de la delta infinita de las opciones binarias?

Question

Es la primera vez que escribo aquí. Me alegro de estar aquí. Acabo de graduarme con una maestría en finanzas computacionales.

Recientemente leí una pregunta de otro usuario sobre la delta de una opción binaria at-the-money cuando se acerca el vencimiento. Después de escribir un rápido Matlab script he confirmado que el delta en esta situación explota hasta el infinito cuando la opción se acerca al vencimiento.

¿Cómo puede ser esto válido? Si entendemos la delta como el cambio en el precio del derivado por cada cambio de 1 dólar en el precio del activo subyacente, ¿cómo podría la delta superar el pago de la opción binaria? Si el pago del derivado es de 1 dólar cuando el precio del activo subyacente supera el precio de ejercicio, entonces un inversor racional estaría dispuesto a pagar 1 dólar COMO MÁXIMO por ese derivado, y estaría dispuesto a pagar 0 dólares COMO MÍNIMO por ese derivado. Por lo tanto, el rango máximo de valores razonables para la opción sería de 1 dólar, ¿verdad? ¿Cómo podría entonces cambiar el valor del derivado en algo más que 1 dólar?

Es casi como si el modelo de precios se rompiera en este caso. Teniendo en cuenta que encontré valores para d2 que eran negativos, cuando se supone que d2 es una medida de probabilidad de que el precio del activo expire por encima del strike, yo diría que el modelo se rompió de alguna manera. ¿Puede alguien explicar por qué se rompe en este caso?

Answer 1

Su pregunta es esencialmente la misma que este . La aproximación

\begin{equation} V_{t + 1} \approx V_t + \Delta_t \left( S_{t + 1} - S_t \right) \end{equation}

sólo es preciso cuando $S_{t + 1} - S_t$ y $\Delta t$ son pequeños.

Véase también mi respuesta a este pregunta. Proporciona algunas referencias que muestran que el delta está limitado por las pendientes de la función de pago, es decir, en el caso de una llamada digital europea $[0, \infty)$ .