Dejemos que $C(S, K, \sigma, r, T)$ sea el precio de una opción de compra. ¿Cuánto se puede decir sobre las griegas sin elegir un modelo? ¿O al menos sin un Black-Scholes completo?
A continuación, escribo todo lo que sé con la esperanza de que
- la gente puede remitirme a un libro que haga cosas similares
- será útil para las personas que lo lean en el futuro
Delta
$\Delta = \frac{\partial C}{\partial S}$
La cantidad de acciones que debe mantener para una cobertura continua (sin costes t)
$\frac{\partial C}{\partial K} = \frac{1}{K} (C- S \frac{\partial C}{\partial S} ) $
Prueba: suponiendo que $C$ es homogénea en $S$ y $K$ , aplicar el teorema de homogeneidad de Euler.
La propagación del toro nos dice que $\frac{\partial C}{\partial K}$ es positivo. (También se podría justificar esto para $\Delta$ directamente con la cobertura). La cobertura muestra que $\Delta$ es positivo y $\Delta|_{S = 0} = 0$ , $\Delta|_{S=\infty} = 1$ .
Gamma
$\Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S ^2}$
Esto también es para la cobertura
$$C(S+dS) - C(S) \approx \Delta(S) dS + \frac{1}{2}\Gamma(S)dS^2$$
pero como no se puede utilizar el subyacente, me resulta un poco menos claro. La propagación de la mariposa muestra que $\frac{\partial^2 C}{\partial K ^2} = \left( \frac{K}{S}\right)^2 \Gamma$ es positivo.
Rho
$$\rho = \frac{\partial C}{\partial r}$$
$r$ no puede ser un parámetro de un modelo verdaderamente independiente $C$ Así que supongo que hice la suposición implícita de que el precio del bono evoluciona como $d B_t = r B_t dt$ así que $B_t = e^{-r (T - t)}$ .
Supongo que tendría más sentido tener $C$ en función de $B$ en lugar de $r$ pero es muy similar a $\rho$ :
$$\frac{\partial C}{\partial B} = \frac{\partial C}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial B} \\ = \rho \frac{-1}{BT} $$
$\frac{\partial C}{\partial B}$ (no estoy seguro de que tenga un nombre) nos dice qué cantidad de bono libre de riesgo debemos poseer para cubrirnos, pero tengo menos conocimiento de ello que $\Delta$ .
Theta y Vega
$$\Theta = \frac{\partial C}{\partial T} \qquad \mathcal{V} = \frac{\partial C}{\partial \sigma}$$
De nuevo, para tener $\sigma$ como parámetro en $C$ Hay que entender algún tipo de dinámica del precio de las acciones. Tanto $T$ y $\sigma$ se razonan como incertidumbre, lo que demuestra que suelen ser positivas.
No tengo un manejo independiente del modelo muy bueno en ninguno de estos, pero estoy seguro de que es posible decir algo sin ir completo Black-Scholes.
En particular, estaría bien conseguir
$$\Theta = \frac{\sigma}{2T} \mathcal{V}$$
para cuando $r= 0$ . Esto viene intuitivamente del hecho de que la volatilidad escala con root cuadrada del tiempo, y así la opción sólo depende del tiempo ajustado a la volatilidad $\sigma^2 T$ .
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¿No es $C$ siendo homogéneo en $S$ y $K$ ¿ya es una suposición? El vol. local, por ejemplo, no lo satisface.
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@LocalVolatility: ¿en serio? Pensé que era sólo un supuesto de invariabilidad de escala, es decir, medir en dólares frente a centavos
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Teorema 9 de Merton (1973) "Si la distribución de los rendimientos por dólar invertido en la acción común es independiente del nivel del precio de la acción, entonces $F(S, \tau; E)$ es homogénea de grado uno en el precio de la acción y el precio de ejercicio". Esto no se cumple cuando la volatilidad depende del punto como en el modelo de vol. local.
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Aquí hay otra referencia: Bates (2005) "Hedging the Smirk". También utiliza el supuesto de homogeneidad para obtener propiedades independientes del modelo de griegas. Enumera los modelos de vol. local (incluidos CEV, Dupire, ...) como contraejemplos.
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@LocalVolatility: gracias por las referencias, es bueno estar al tanto de esto. He actualizado la pregunta para hacer notar que no quiero una independencia total del modelo, sólo más generalidad que Black-Scholes
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@LocalVolatility: "Hedging the Smirk" es impresionante, lo he leído y he corregido los errores de mi escrito anterior
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Los deltas pueden ser ilimitados quant.stackexchange.com/questions/22135/