Monotonicidad del déficit esperado

Question

Tengo que demostrar la monotonicidad para un caso más general que el del déficit esperado.

Tengo que demostrar que $E(X|X \geq a) \geq E(X|X \geq b), \forall a,b \in \mathbb{R}$ para que $a\geq b$ y $F_X(a-)<1$ .

Así es como empecé:

$E(X|X\geq b)=\frac{\int_b^{\infty}X dP}{P(X\geq b)}=\frac{\int_b^{a}X dP+\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq b)} \leq \frac{\int_b^{a}X dP+\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq a)}=E(X|X\geq a)+ \frac{\int_b^{a}X dP}{P(X\geq a)}$ lo que no ayuda, porque $\int_b^a X dP$ es positivo.

¿Tiene alguna pista para mí? Se lo agradecería mucho.

Answer 1

$E(X|X\geq b)=\frac{\int_b^{\infty}X dP}{P(X\geq b)}=\frac{\int_b^{a}X dP+\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq b)} \leq \frac{a\int_b^{a} dP+\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq b)}=\frac{a\int_b^{a} dP+\int_a^{\infty}X dP}{\int_b^{a} dP + P(X\geq a)}$

Ahora bien, como $a \leq \frac{\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq a)}$ el lado derecho de la ecuación anterior es menor o igual a $\frac{\frac{\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq a)}\int_b^{a} dP+\int_a^{\infty}X dP}{\int_b^{a} dP + P(X\geq a)} = \frac{\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq a)} = E(X|X\geq a)$ .