Probabilidad de incumplimiento acumulativa vs marginal

Question

Entendía que la probabilidad acumulativa (también conocida como incondicional) de incumplimiento era la probabilidad de incumplimiento en un período dado, por ejemplo, entre los años 1 y 5. Además, $\pi_{acumulativa} = 1-e^{-\lambda*t}$ donde lambda es una tasa de riesgo.

Entendía que la probabilidad marginal (también conocida como condicional) de incumplimiento era la probabilidad de incumplimiento en el tiempo $T$ dado la supervivencia hasta ese punto. Además, $\pi_{marginal} = \lambda e^{-\lambda*t}$ donde lambda es una tasa de riesgo.

Intentando resolver el siguiente problema, llegué a un valor cercano pero incorrecto.

Problema

Tasa de riesgo de 1 año = 0.1. ¿Cuál es la probabilidad de sobrevivir en el primer año seguido por incumplir en el segundo?

Mi solución fue calcular la probabilidad marginal de incumplimiento = $0.1\lambda e^{0.1*2}$ = 8.19%

Pero la respuesta dada fue 8.61% llegada por:

PD acumulativo de 1 año (también llamado incondicional) = 1 - e^(- riesgo*tiempo) = 9.516%

PD acumulativo de 2 años (también llamado incondicional) = 1 - e^(- riesgo*tiempo) = 18.127%

solución - 18.127% - 9.516% = 8.611%

¿Mi enfoque es incorrecto o simplemente una aproximación?

Answer 1

La pregunta suena como un problema de probabilidad condicional. Sin embargo, tenga en cuenta que, para la probabilidad condicional, la gente generalmente dirá if survived to o conditional on. Aquí dice que survived in year one y (es decir, seguido por) will default in year two. Entonces no deberíamos tratar esto como una probabilidad condicional o marginal.

Basándonos en la comprensión anterior, la probabilidad se puede calcular de la siguiente manera: \begin{align*} P(\tau >1 \ y \ \tau \le 2) &= P(1 < \tau \le 2)\\ &=P\big((\tau \le 2) \setminus(\tau \le 1) \big)\\ &=P(\tau \le 2) - P(\tau \le 1)\\ &= \big(1- e^{-2\lambda}\big) - \big(1- e^{-\lambda}\big)\\ &= 18.127\,\% - 9.516\,\% \\ &= 8.611\,\%. \end{align*} Aquí, $\tau$ es el tiempo de incumplimiento.