La cobertura de una opción binaria cerca de caducidad

Question

Me han pedido que demostrar matemáticamente que una opción binaria cerca de la madurez deben ser cubiertos mediante una llamada propagación con el mismo vencimiento.

Entiendo que, lejos de la madurez, uno podría usar delta de cobertura para vender o comprar el activo subyacente. Sin embargo, como el tiempo hasta el vencimiento tiende a cero, el delta del perfil que tiende hacia una delta de dirac de la función y lo hace, entonces la cobertura práctico. Ver: delta de una opción binaria

Otras de cálculo para derivar delta, hay otros rigurosas para la construcción de las coberturas de este tipo?

Como esta es una tarea pregunta, sugerencias, en lugar de respuestas completas son la mayoría de la recepción.

Gracias de antemano,

Answer 1

El punto clave aquí es que, cuando cerca de vencimiento de una opción binaria deben ser cubiertos con una llamada propagación.

Tenga en cuenta que, para una opción binaria con un pago al vencimiento $T$ de la forma $\mathbb{1}_{S_T>K}$, el valor en el momento $0\le t < T$ está dado por $$e^{-r(T-t)}N(d_2),$$ donde $$d_2 = \frac{\ln \frac{S_t}{K}+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}.$$ Desde $$\begin{align*} \frac{\partial N(d_2)}{\partial S_t} = \frac{\phi(d_2)}{\sigma S_t \sqrt{T-t}}\rightarrow \infty, \end{align*}$$ como $t\rightarrow T$, el delta basado en la cobertura no es aplicable.

Sin embargo, con una llamada propagación aproximación de la forma $$\begin{align*} \mathbb{1}_{S_T>K} \approx \frac{1}{\varepsilon}\Big[\big(S_T-(K-\varepsilon)\big)^+ - \big(S_T-K\big)^+\Big]. \end{align*}$$ El delta en tiempo $0\le t < T$ está dado por $$\frac{1}{\varepsilon}\big[N(d_1^{-\varepsilon})-N(d_1^0)\big],$$ que es finito como $t\rightarrow T$. Aquí, $$\begin{align*} d_1^{\alpha} = \frac{\ln \frac{S_t}{K+\alpha}+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}. \end{align*}$$