Delta de la opción binaria

Question

Cuál es el Delta de una opción binaria at-the-money con un pago $0$ en $S(T)<100$ dólares, y el pago de $1$ en $S(T)>100$ dólares, a medida que se acerca su vencimiento?

Esto es de un ejemplo de examen de entrevista. Entiendo que Delta mide esencialmente el cambio en el precio del derivado en relación con el cambio en el precio del activo, como la negociación en el mercado abierto.

¿Cómo se calcula realmente el Delta para una situación concreta como la anterior? No he podido encontrar una fórmula para ello en Google, lo cual es un poco extraño. Mi suposición ingenua es que la respuesta debería ser 0,5, pero no estoy seguro de por qué.

Answer 1

El valor de la llamada binaria europea, que paga \$1 if $ S_T > K $ or nothing otherwise, is $$ c_t=e^{-r(T-t)}N(d_2) $$ where, $ d_2=\frac{ln(S_t/K)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}$

Delta de su opción de compra binaria es $$\Delta_t=\frac{\partial c_t}{\partial S_t}=\frac{e^{-r(T-t)}N'(d_2)}{\sigma S_t \sqrt{T-t}}$$

---

Derivación

Tenemos que calcular $$\Delta_t=\frac{\partial c_t}{\partial S_t}$$

$$\frac{\partial c_t}{\partial S_t}=\frac{\partial}{\partial S_t}\bigg(e^{-r(T-t)}N(d_2)\bigg)=e^{-r(T-t)}\frac{\partial}{\partial S_t}N(d_2)$$

$$\frac{\partial}{\partial S_t}N(d_2)=\frac{\partial}{\partial S_t} \int_{-\infty}^{d_2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx$$

donde $d_2=f(S_t)$ . Utilizando la regla integral de Leibniz

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left (\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,\mathrm{d}t \right) = f(x,b(x))\cdot b'(x) - f(x,a(x))\cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\; \mathrm{d}t. $$

Así que, $$\frac{\partial}{\partial S_t} \int_{-\infty}^{d_2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}d_2^2} \frac{\partial}{\partial S_t} (d_2)$$

Puede comprobar usted mismo que $$\frac{\partial d_2}{\partial S_t}=\frac{1}{S_t \sigma \sqrt{T-t}}$$

Reunir todos los resultados

$$\frac{\partial c_t}{\partial S_t}=\frac{e^{-r(T-t)}N'(d_2)}{\sigma S_t \sqrt{T-t}}$$ donde $N'(d_2)$ denotan la función de densidad de probabilidad normal estándar,

---

Relación entre el delta de la opción binaria y el tiempo de expiración @dm63 ya proporcionó una breve respuesta a su pregunta sobre cómo responderá el delta a medida que la opción se acerque a su vencimiento, a continuación he mostrado una relación más precisa
Ref: http://www.binaryoptions.com/binary-option-greeks/binary-call-option-delta

Puede ver que a medida que el tiempo hasta el vencimiento disminuye, la delta de una opción at-the-money se acerca al infinito. Porque un pequeño cambio en el precio de las acciones ( $\epsilon$ ), asuma que $S_t=K$ y la opción está cerca del vencimiento, hará que el pago de la opción cambie su valor en \$1 (as information provided in OP). So, option delta $ \Delta_t= \frac{1}{\epsilon} \ a \infty$. También puede comprobar este resultado de la fórmula derivada anteriormente.

Answer 2

Por si no ha quedado claro en las respuestas anteriores, la respuesta que quieren es que el delta se vuelva infinito. Eso es porque un pequeño movimiento en la acción cambiará el pago en 100 dólares, por lo que su cobertura delta debe ser enorme.

Answer 3

La delta de una opción digital (o binaria) es como la función de probabilidad de la distribución normal, acercándose a 0 en condiciones OTM / ITM lejanas y representando un pico muy alto en ATM.

El pico de la ATM se acerca al infinito a medida que nos acercamos a la madurez. Nunca es 0,5 como una opción vainilla, ya que el pago nunca simula el pago del subyacente.

Si quieres tener una aproximación a la delta en el cajero, te sugiero que utilices opciones con fechas más largas, o que utilices un spread para suavizar la delta en el cajero. Así es como los operadores suavizan las deltas de los productos digitales mientras se cubren. Sin embargo, esta estructura puede ser un poco costosa.

Answer 4

Una cosa divertida sobre las opciones binarias es que ATM cerca de la expiración el delta se convierte en un Delta de Dirac que es una función creada originalmente en la física teórica.

Nassim Taleb lo explica en la página 286 de este enlace: http://docs.finance.free.fr/Options/Dynamic_Hedging-Taleb.pdf