valor terminal para el inversor de una cartera con dos activos de riesgo 1) correlacionados 2)no correlacionados $\phi_t^1=S^{2}_{t}, \ \phi_t^2=S^{1}_{t}$

Question

Estoy analizando un problema en el que tengo dos acciones descritas por las ecuaciones $$ \frac{dS^{1}_{t}}{S^{1}_{t}}=\mu_{1} dt + \sigma_{1} dW^{1}_{t}$$ $$ \frac{dS^{2}_{t}}{S^{2}_{t}}=\mu_{2} dt + \sigma_{2} dW^{2}_{t}$$

donde $\rho$ es la correlación entre los activos de riesgo.

Un inversor parte de un capital x e invierte en el $\phi_t^1=S^{2}_{t}, \ \phi_t^2=S^{1}_{t}$ estrategia. Se supone que la tasa de seguridad es cero.

Quiero derivar la riqueza del inversor $X_t$ en términos de $Y_t$ para dos casos

$1) \ \rho=0$
$2) \ \rho \neq 0$

Estoy obteniendo las siguientes ecuaciones para el valor de la cartera de los activos de riesgo:

$ Y_{t} = (\phi_t^1 )S^{1}_{t} + (\phi_t^2 )S^{2}_{t} = S^{2}_{t} S^{1}_{t} + S^{1}_{t} S^{2}_{t}$

y

$\frac{dY_t}{Y_t} = \frac{dS^{1}_{t}}{S^{1}_{t}} + \frac{dS^{2}_{t}}{S^{2}_{t}} + \frac{ <S^{1} S^{2}>_t}{S^{1}_{t} S^{1}_{t}}$

Mi intuición aquí es que hay que aplicar la autofinanciación de la propiedad, por lo que el Xt sería igual a algún capital x + valor final de los activos de riesgo - beg valor de la inversión en activos de riesgo y el cambio en la cartera sería de alguna manera representan como $dX_t= S_t^1 dS_t^2 + S_t^1 dS_t^2$

Estoy tratando de utilizar la ecuación de la propiedad de autofinanciación para derivar X_t pero no sé cómo derivar las fórmulas finales dadas en las soluciones. Me falta algún punto aquí, estoy atascado. ¿Alguien puede explicarme cómo debería analizarse este problema? ¿Cuál debería ser el punto de partida y cómo seguir adelante?

las ecuaciones finales deberían ser las siguientes

$1) \rho=0$

$X_t=Y_t - S_0^1 S_0^2 +x $

$2) \ \rho \neq 0$

$dX_t = d(S_t^1 S_t^2) - d\langle S_1, S_2 \rangle_t = \frac{1}{2} dY_t - \frac{1}{2} \rho \sigma_ 1 \sigma_2 Y_tdt$

$X_t=x+ \frac{1}{2} (Y_t -Y_0 - \rho \sigma_ 1 \sigma_2 \int_0^t Y_s ds)$

Answer 1

Sea $Y_t := 2 S_t^1 S_t^2 $ . Aplicando Itô (multivariante) a la función $f(t,S_t^1,S_t^2)=2 S_t^1 S_t^2$ se obtiene una ecuación diferencial estocástica para $Y_t$

$$ \frac{dY_t}{Y_t} = \frac{dS_t^1}{S_t^1} + \frac{dS_t^2}{S_t^2} + \rho \sigma_1 \sigma_2 dt $$

Volviendo a aplicar el lema de Itô a la función $f(t,Y_t) = \ln(Y_t)$ se obtiene $$ d\ln Y_t = (\mu_1 + \mu_2 - \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{2}) dt + \sigma_1 dW_t^1 + \sigma_2 dW_t^2 $$

que puede integrarse en $[0,T]$ para obtener $$ Y_T = Y_0 e^{(\mu_1+\mu_2-\frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{2})T + \sqrt{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\sigma_1\sigma_2)}\ W_T} $$ donde $Y_0 = 2 S_0^1 S_0^2$ y hemos sustituido $\sigma_1 W_t^1 + \sigma_2 W_t^2$ por $\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \rho \sigma_1 \sigma_2} W_t$ que es una variable aleatoria con exactamente la misma distribución (cf. prueba aquí )

Ahora, supongamos que autofinanciación cartera de participaciones $S_t^2$ acciones del valor 1 en el momento $t$ junto con $S_t^1$ acciones de valor 2: $$X_t := S_t^2 S_t^1 + S_t^1 S_t^2$$ Las condiciones de autofinanciación dan, en cualquier periodo de tiempo infinitesimal $$ dX_t = S_t^2 dS_t^1 + S_t^1 dS_t^2$$ que podemos reescribir (simple aplicación del lema de Itô multivariante) $$ dX_t = d(S_t^1 S_t^2) - d\langle S^1 S^2 \rangle_t $$

Ahora para $\rho=0$ la parte de variación cuadrática es cero, e integrando $$ dX_t = d(S_t^1 S_t^2) $$ en $[0,T]$ produce una riqueza final de: \begin{align} X_T &= X_0 + S_T^1 S_T^2 - S_0^1 S_0^2 \\ &= x + \frac{1}{2}(Y_T - Y_0) \end{align}

Para $\rho \ne 0$ escribimos $dX_t = d(S_t^1 S_t^2) - d\langle S^1 S^2 \rangle_t $ como $$ dX_t = \frac{1}{2} dY_t - \frac{1}{2} \rho \sigma_1 \sigma_2 Y_t dt $$ e integrar sobre $[0,T]$ para obtener $$ X_T = x + \frac{1}{2} (Y_T - Y_0) - \frac{1}{2} \rho \sigma_1 \sigma_2 \int_0^T Y_t dt $$ Tenga en cuenta que al establecer $\rho = 0$ en lo anterior recurrimos al resultado anterior.