¿Cómo graficar el costo promedio a corto plazo?

Question

He aprendido a dibujar aproximadamente gráficos de varias funciones como las iso-cuantes de la función Cobb Douglas, es decir, $k=q/L$. Aquí la primera derivada es negativa, por lo que es descendente y la segunda derivada es positiva, por lo que es convexa hacia el origen. Ahora, si la función de costo a corto plazo es $C = (w/k)q^2 + (rk)$, entonces el costo promedio es $AVC= (w/k)q +(rk)/q$. La primera derivada es $(w/k)-(rk)/q^2`, pero ¿cómo sé si es positiva o negativa?

Answer 1

$\newcommand{\fone}{\color{red}{f_1(q)}}$ $\newcommand{\ftwo}{\color{blue}{f_2(q)}}$

Por simplicidad, llamemos

$$ f(q) = \frac{w}{k}q + \frac{rk}{q} = rk\left(\underbrace{\frac{1}{q}}_{\fone} + \underbrace{\frac{w}{rk^2}q}_{\ftwo} \right) = rk (\fone + \ftwo) $$

donde he factorizado $rk$ fuera de la expresión. Ahora quieres entender cada término por separado:

$\fone = 1/q$

Este término disminuye a medida que $q$ aumenta, y diverge cuando $q$ es pequeño.

$\ftwo = \alpha q$, con $\alpha = w/rk^2$

Este es un término lineal con pendiente $\alpha$: es pequeño para $q$ pequeños y grande para $q$ grandes.

Combinados

En este caso particular, uno de los términos crece mientras que el otro disminuye. Por lo tanto, en casos extremos solo uno importa. La pregunta es en qué punto uno se vuelve más relevante que el otro.

Si te fijas arriba, siempre utilizo las expresiones pequeño y grande, pero estas son palabras relativas. En realidad puedes encontrar un valor $q^*$ en el que estos dos términos sean iguales, y esto define en qué punto cada término domina.

Entonces, si $q < q^*$ esto es lo que quiero decir con $q$ pequeño y por lo tanto $\fone$ domina. Si, por otro lado, $q > q^*$ $f$ estará dominado por $\ftwo$. Para encontrar $q^*$ hacemos

\begin{eqnarray} \fone &=& \ftwo \\ \frac{1}{q} &=& \alpha q \\ q^* &=& \alpha^{-1/2} \end{eqnarray}

Con esto en mente, abajo hay un gráfico para $\alpha = 1$