Cómo expresar la volatilidad de los dos se correlaciona procesos de Ito $Wt_1, Wt_2$ expresado en términos de $W_t$?

Question

Tener dos correlaciona Ito procesos ($W_t^1$ y $W_t^2$ se correlacionan Browniano movimientos con correlación $\rho$)

$dX_{t} =\mu_{1} dt + \sigma_1 dWt_1 $

$dY_{t} = \mu_{2} dt + \sigma_2 dWt_2 $

¿Cómo puede el siguiente ser probada de manera algebraica ?

$\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 +2 \sigma_1 \sigma_2 \rho} \ \ dW_t = \sigma_1 dW_t^1 + \sigma_2 dW_t^2$

Answer 1

Lo que puede ser demostrado es que las expresiones anteriores son iguales en la probabilidad. Primero, revise la distribución. Como cualquier combinación lineal de una Gaussiana es Gaussiano el lado derecho es de Gauss - la mano izquierda también. Luego tenemos el 2 momentos:

Los valores esperados - es cero ... fácil de ver.

Siguiente lo que no especifica es que la correlación entre $dW_t^1$ y $dW_t^2$ es $\rho$ entonces la varianza se puede calcular mediante la $$ VAR[\sigma_1dW_t^1+\sigma_2dW_t^2] = \sigma_1^2 VAR[dW_t^1] + 2 \sigma_1 \sigma_2 Covar[dW_t^1,dW_t^2] + \sigma_2^2 VAR[dW_t^2] $$ lo que equivale a $$ \sigma_1^2 dt + 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho dt + \sigma_2^2 dt. $$

Por otro lado, la varianza de la lhs: $$ VAR[\sqrt{\sigma_1^2 + 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho+ \sigma_2^2} dW_t] = (\sigma_1^2 + 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho+ \sigma_2^2) VAR[dW_t] $$ y esto es $$ (\sigma_1^2 + 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho + \sigma_2^2) dt, $$ exactamente lo que necesitábamos.