¿Cuál es la varianza incondicional de un modelo GARCH?

Question

Quiero utilizar un script de Matlab para calcular los precios Heston Nandi GARCH. Encontré un script apropiado en línea y pide la "varianza incondicional" como entrada. ¿Cómo puedo calcular la volatilidad incondicional apropiada? He encontrado esta fórmula en línea: $$\sigma^2 = s^2 = \frac{1}{n-1} * \sum_{t=1}^n [r^2_t] $$

¿Es éste el apropiado para usar? ¿Tomo la varianza según esta fórmula para todos los rendimientos de los activos hasta el momento de la opción que estoy tratando de valorar?

Guión completo: `función PrecioOpción=HestonNandi(S_0,X,Sig_,T,r)

%%%%%%%%%%%%% % esta función calcula el precio de la opción Call basándose en la fórmula de valoración de opciones GARCH de Heston y Nandi (2000). Los datos de entrada de la función son: el precio actual del activo subyacente, el precio de ejercicio, % varianza incondicional del activo subyacente, tiempo hasta el vencimiento en días, % y tipo de interés diario libre de riesgo. %%%%%%%%%%%

% Autor: Ali Boloorforoosh % correo electrónico: a_bol@jmsb.concordia.ca % Fecha: Nov. 1,08

            %%%%% sample inputs %%%%%
% S_0=100;                    stock price at time t
% X=100;                      strike prices
% Sig_=.04/252;               unconditional variances per day
% T=30;                       option maturity
% r=.05/365;                  daily risk free rate

Precio de la opción=.5*S_0+(exp(-r*T)/pi) quad(@Integrand1,eps,100)-X exp(-r T) (.5+(1/pi)*cuadro(@Integrand2,eps,100));

% function Integrand1 and Integrand2 return the values inside the 
% first and the second integrals

function f1=Integrand1(phi)
    f1=real((X.^(-i*phi).*charac_fun(i*phi+1))./(i*phi));
end

function f2=Integrand2(phi)
    f2=real((X.^(-i*phi).*charac_fun(i*phi))./(i*phi));
end

% function that returns the value for the characteristic function
function f=charac_fun(phi)

    phi=phi';    % the input has to be a row vector

    % GARCH parameters
    lam=2;
    lam_=-.5;                   % risk neutral version of lambda
    a=.000005;
    b=.85;
    g=150;                      % gamma coefficient
    g_=g+lam+.5;                % risk neutral version of gamma
    w=Sig_*(1-b-a*g^2)-a;       % GARCH intercept

    % recursion for calculating A(t,T,Phi)=A_ and B(t,T,Phi)=B_
    A(:,T-1)=phi.*r;
    B(:,T-1)=lam_.*phi+.5*phi.^2;

    for i=2:T-1
        A(:,T-i)=A(:,T-i+1)+phi.*r+B(:,T-i+1).*w-.5*log(1-2*a.*B(:,T-i+1));
        B(:,T-i)=phi.*(lam_+g_)-.5*g_^2+b.*B(:,T-i+1)+.5.*(phi-g_).^2./(1-2.*a.*B(:,T-i+1));
    end

    A_=A(:,1)+phi.*r+B(:,1).*w-.5*log(1-2.*a.*B(:,1));                    % A(t;T,phi)
    B_=phi.*(lam_+g_)-.5*g_^2+b.*B(:,1)+.5*(phi-g_).^2./(1-2.*a.*B(:,1)); % B(t;T,phi)

    f=S_0.^phi.*exp(A_+B_.*Sig_);
    f=f'; % the output is a row vector

end

Finalizar

`

Answer 1

No estoy seguro de si todavía necesitas una respuesta, sin embargo, si echas un vistazo al documento original de Heston&Nandi (2000) encontrarás que "Sig_" tal y como se define en tu código, es similar a su volatilidad a largo plazo anualizada (P.579), excepto que aquí no está anualizada.

$\Omega=\frac{\left(\omega+\alpha\right)}{1-\beta-\alpha\gamma^{2}}$

resolviendo esto para $\omega$ lleva a lo que su código llama "intercepción GARCH".

Además, en su aplicación

f=S_0.^phi.*exp(A_+B_.*Sig_)

que es

$CF=S_{t}^{\phi}\exp\left(A\left(t,T,\phi\right)+B\left(t,T,\phi\right)h_{t+1}^{*}\right)$

Como puede ver, "Sig_" debería ser la varianza condicional del siguiente paso de tiempo (en el caso de un solo retraso).

Por lo tanto, por lo que entiendo, "Sig_" aquí es simplemente un valor inicial arbitrario para h(0), es decir, la varianza condicional.

Para responder a tu pregunta, sí, se podría establecer igual a la varianza de la muestra, pero también a cualquier otro valor razonable. Apenas tiene efecto en el resultado y, debido a la fuerte propiedad de reversión de la media de la varianza condicional, no importa para las muestras de retorno más largas (algunos cientos de observaciones).

También debe tener en cuenta que tiene que estimar sus propios parámetros para los datos que está utilizando.