¿Por qué se supone que el intercepto GARCH es estrictamente positivo?

Question

Tal vez sea una simple pregunta, pero no entiendo muy bien por qué es teóricamente necesario. Tomemos el GARCH(1,1) estándar $$\sigma^2_{t+1}=\omega+\alpha\epsilon^2_{t}+\beta\sigma^2_{t}$$ En la mayoría de los libros de texto las condiciones son: $\omega>0$ , $\alpha,\beta\geq0$ y $\alpha+\beta<1$ .

No sé en otros contextos, pero para las series financieras, $\alpha$ y $\beta$ son en la mayoría de los casos fuertemente significativos, positivos y bastante persistentes (suma ligeramente inferior a 1). Por construcción (ya que están al cuadrado) $\epsilon^2_t$ y $\sigma^2_t$ son siempre positivos. La positividad de ambos coeficientes $\alpha$ y $\beta$ y las variables retardadas $\epsilon^2_{t}$ y $\sigma^2_{t}$ garantiza la positividad de $\sigma^2_{t+1}$ . Teniendo en cuenta esto, ¿por qué entonces debería $\omega$ ser estrictamente positivo y por qué la condición $\geq0$ ¿No es suficiente?

Tengo unas cuantas series para las que quiero estimar la ecuación de volatilidad condicional. La mayoría de ellas tienen un intercepto positivo, pero algunas de ellas tienen $\omega=0$ con coeficientes positivos $\alpha$ y $\beta$ . ¿Qué debo hacer ya que esto no se contempla teóricamente en los libros de texto? ¿Cómo debo interpretar estos resultados?

Answer 1

Consideremos el proceso GARCH(1,1) \begin{align} r_{t+1} &= \sigma_{t+1} z_{t+1} \\ \sigma^2_{t+1} &= \omega+\alpha r^2_t +\beta \sigma^2_{t} \end{align} para las devoluciones $r_t$ con ${z_t} \sim N (0,1)$ IID.

A continuación, vamos a distinguir la varianza condicional de la rentabilidad $$ V [ r_{t+1} \vert \mathcal{F}_t ] = \sigma^2_{t+1} $$ de la varianza incondicional de la rentabilidad $$ V [ r_{t+1} ]$$ donde $\mathcal{F}_t$ denota la información disponible hasta el momento $t$ (filtración), en nuestro caso todos los valores pasados $\{\sigma_t,...,\sigma_0,r_t,...,r_0\}$ .

En primer lugar, observe que si ambos $\alpha$ y $\beta $ resulta ser cero, entonces si $\omega$ se permite que llegue a cero también existe la posibilidad de que la varianza condicional se convierta en cero.

En segundo lugar, porque $z_t$ son de media cero, varianza unitaria e i.i.d, tenemos que la varianza incondicional de los rendimientos es estrictamente igual a (*) \begin{align} V[r_{t+1}] &= E[r_{t+1}^2]-E [r_{t+1}]^2 = E[r_{t+1}^2] \\ &= E [ \sigma_{t+1}^2 z_{t+1}^2] = E [ \sigma_{t+1}^2] E [z_{t+1}^2] \\ &= E[\sigma_{t+1}^2] \end{align}

Podemos utilizar esta relación junto con la definición de GARCH para escribir \begin{align} V[r_{t+1}] &= E[\sigma_{t+1}^2] = E [ (\omega+\alpha r^2_t +\beta \sigma^2_{t}) ] \\ &= \omega + \alpha V [r_t] + \beta V [r_t] \\ &= \omega + V [r_t] (\alpha + \beta) \end{align} Ahora, asumiendo estacionariedad débil deberíamos tener que la varianza incondicional $\sigma^2_\infty$ es tal que $$ \sigma^2_\infty = V [r_{t+1}] = V [r_t] $$ que utilizando lo anterior da $$ \sigma^2_\infty = \frac {\omega}{1-\alpha-\beta} $$ De lo que se desprende que la condición $\alpha + \beta < 1$ es relevante, pero también que permitir $\omega $ llegar a cero implicaría también la posibilidad de que la varianza incondicional sea cero.

Al final del día, por lo tanto, tenemos que si $\omega=0$ mientras los otros coeficientes sean positivos, se tendrá heteroscedasticidad (condicional) en el sentido de que la varianza condicional evolucionará a través del tiempo, pero la varianza estacionaria incondicional será cero, con la consecuencia irreal de que los rendimientos se vuelven deterministas en algún momento.

(*) Esto podría haberse anticipado ya que \begin{align} V [r_{t+1}] &= V [r_{t+1} \vert \mathcal{F}_0] \\ &= E [r_{t+1}^2 \vert \mathcal{F}_0] \\ &= E [ E [ r_{t+1}^2 \vert \mathcal{F}_t] \vert \mathcal{F}_0] \\ &= E [ V [ r_{t+1} \vert \mathcal{F}_t] \vert \mathcal{F}_0] \\ &= E [ \sigma_{t+1}^2 \vert \mathcal{F}_0] \\ &= E [ \sigma_{t+1}^2 ] \end{align} donde hemos hecho uso de la ley de la torre (y el hecho de que $z_t $ son de media cero y se distribuyen de forma independiente, de modo que $E [r_{t+1}]=0$ ).