Funciones homotéticas en economía

Question

¿Hay resultados en economía que requieran que una función sea homotética? El libro que estoy usando (Matemáticas Esenciales para el Análisis Económico) dice que una función es homotética cuando "$f(x)=f(y)$ y $t>0$, entonces $f(tx)=f(ty)$". También menciona que hay funciones homotéticas que no son homogéneas como $F=xy+1$.

Pero todos los ejemplos económicos en el libro donde se utiliza una función homotética resultan funcionar con funciones homogéneas también. Entonces, ¿por qué son especiales? ¿Hay algún ejemplo económico donde tener una función homogénea no sería suficiente y se necesitaría una función homotética para que funcione?

Answer 1

En la teoría de la producción (y de manera similar para el consumo), una función de producción homotética es compatible con la presencia de costos fijos, mientras que una función de producción homogénea no lo es. En ambos casos (en notaciones estándar), la producción se puede escribir como $$y=F(h(x)),$$ con $h$ linealmente homogéneo. También es común imponer que $h(0)=0$. Luego, la función de costes hereda la forma $$c(w,y)=g(w)F^{-1}(y).$$ Cuando la función de producción es homogénea de grado $k$, resulta que $F^{-1}(y)=y^{1/k}$ y por lo tanto $c(w,0)=0$. Sin embargo, para las funciones de producción homotéticas, $c(w,0)=g(w)F^{-1}(0) > 0$ en general.
Una ventaja adicional del caso homotético, es que el grado de rendimientos a escala puede depender de $y$, mientras que es constante para la tecnología homogénea de grado $k$.