La expectativa de N(d2)?

Question

Estoy tratando de averiguar los Precios de la Ecuación para cierto tipo de Opciones de bajo Riesgo-Neutro precio. Esta es la ecuación que estoy recibiendo, pero no estoy seguro de si esto se puede solucionar o no. Cualquier ayuda es muy apreciada.

$$V = E[I\{S(T_0) \geq B\}N(d_2)]$$

$t_0 < T_0 < T_1$ Esta es una línea de tiempo

$$I\{S(T_0) \geq B\} = \begin{casos} 1, & \text{si } S(T_0) \geq B \\ 0, & \text{en caso contrario} \end{casos}$$

donde $S(t_0), S(T_0)$ es el precio de las acciones en diferentes momentos.

$N(d_2)$ es el Black Scholes $N(d_2)$ pero Precio de las Acciones utilizadas en $N(d_2)$ es $S(T_0)$, y el periodo de tiempo es de $T_1-T_0$. Por lo que $N(d_2)$ en sí mismo es una Variable Aleatoria, en este caso.

Estoy tratando de encontrar la esperanza en vez de $= t_0$

$ d_2 = [ln(S(T_0)/K)+(r-0.5 vol^2)(T_1-T_0)] / (vol* sqrt (T_1-T_0)) $

$ S(T_0) = S(t_0) exp((r-0.5 vol^2)(T_0-t_0) + vol * sqrt(T_0-t_0)Z) $

Z~N(0,1)

Answer 1

Básicamente está interesado en la fijación de precios de segundo orden de bonos de opciones binarias. En su mayoría de forma general, este contrato tiene un tiempo de $T_2$ rentabilidad de

\begin{ecuación} \mathcal{B}_{\xi_1, \xi_2}^{s_1, s_2} \left( S_{T_1}, S_{T_2}, T_2 \right) = \mathrm{1} \left\{ s_1 S_{T_1} > s_1 \xi_1 \right\} \mathrm{1} \left\{ s_2 S_{T_2} > s_2 \xi_2 \derecho\}. \end{ecuación}

En tu caso, tenemos $\xi_1 = B$, $s_1 = +1$, $\xi_2 = K$ y $s_2 = +1$. El tiempo $T_1$ valor de esta opción es igual a

\begin{ecuación} \mathcal{B}_{\xi_1, \xi_2}^{s_1, s_2} \left( S_{T_1}, T_1 \right) = \mathrm{1} \left\{ s_1 S_{T_1} > s_1 \xi_1 \derecho\} e^{-i \left( T_2 - T_1 \derecho)} \mathbb{E} \left[ \a la izquierda. \mathrm{1} \left\{ s_2 S_{T_2} > s_2 \xi_2 \right\} \derecho| S_{T_1} \derecho]. \end{ecuación}

Aparte de la adicional de descuento, esta es la misma expresión que en su pregunta.

Este contrato es un caso especial de los generalizar multi-periodo y multi-activos de $\mathbb{M}$-opciones binarias analizados por el Capitán y Buchen (2003). A su vez, de $0 \leq t < T_1$ valor está dado por

\begin{ecuación} \mathcal{B}_{\xi_1, \xi_2}^{s_1, s_2} \left( S_t, t \right) = e^{-i \tau_2} \mathcal{N}_2 \left( \alpha_{0, 1}, \alpha_{0, 2}; \rho \derecho), \end{ecuación}

donde $\tau_i = T_i - t$,

\begin{ecuación} \alpha_{0, i} = \frac{s_i}{\sigma \sqrt{\tau_i}} \left( \ln \left( \frac{S}{\xi_i} \derecho) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \derecho) \tau_i \derecho) \end{ecuación}

y

\begin{ecuación} \rho = s_1 s_2 \sqrt{\frac{\tau_1}{\tau_2}}. \end{ecuación}

Aquí, $\mathcal{N}_2$ es el bivariado estándar de la distribución normal de la función con la correlación. Ver el artículo original para una derivación de este resultado. Usted encuentra un resultado similar en el Capítulo 2 de el Tel. D. tesis Veiga (2010). Ver también esta relacionada con la pregunta y las respuestas correspondientes.

Referencias

El capitán, Max y Pedro W. Buchen (2003) "La Quintessiential Opción Fórmula de fijación de Precios", Documento de Trabajo, facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de Sydney, disponible en línea

Veiga, Carlos Manuel "Cerrado Fórmulas y Esquemas de Calificación para los Derivados", Tel. D. Tesis, Frankfurt School of Finance & Management, disponible en línea