¿Cómo calcular la probabilidad condicional para un proceso browniano geométrico?

Question

Un poco vergonzosamente estoy atrapado con algo muy elemental.

Quiero encontrar la probabilidad condicional de un movimiento de acciones (GBM):

PS

para $$\mathbb{P} \big( S_t \geq b \vert S_s \leq b) $. Mi principal problema es determinar a qué equivale$ t > s$.

Answer 1

Mediante una cierta manipulación algebraica, lo que necesita es la probabilidad$P(W_t \ge a, W_s \le c)$, que se puede calcular de la siguiente manera: \begin{align*} P(W_t \ge a, W_s \le c) &= P(W_t-W_s \ge a-W_s, W_s \le c)\\ &=E\big(E\left(1_{W_t-W_s \ge a-W_s} 1_{W_s \le c} \mid W_s \right)\big)\\ &=E\big(1_{W_s \le c}E\left(1_{W_t-W_s \ge a-W_s} \mid W_s \right)\big)\\ &=E\Big(1_{W_s \le c}\Big[1-\Phi\Big(\frac{a-W_s}{\sqrt{t-s}}\Big)\Big]\Big)\\ &=\Phi\Big(\frac{c}{\sqrt{s}} \Big)-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{a}{\sqrt{s}}}\Phi\Big(\frac{a-\sqrt{s}x}{\sqrt{t-s}} \Big)e^{-\frac{x^2}{2}} dx, \end {align *} donde$\Phi$ es la función de distribución acumulativa de un estándar aleatorio normal variable.